Номер 10.5, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.5, страница 111.

Условие.

10.5. Постройте график уравнения:

1) $|y| = x;$

2) $|y - 1| = x - 2;$

3) $|x + 2y| = 1;$

4) $|x + 3| = |y - 2|;$

5) $xy = |x|;$

6) $(x + 2) y = |y|;$

7) $|x|y = 1;$

8) $x|y| = 1;$

9) $|xy| = 1.$

Решение.

1)

Уравнение: $|y| = x$.

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, $x$ должен быть больше или равен нулю ($x \ge 0$). Уравнение можно раскрыть по определению модуля, рассмотрев два случая:

1. Если $y \ge 0$, то уравнение принимает вид $y = x$.

2. Если $y < 0$, то уравнение принимает вид $-y = x$, что равносильно $y = -x$.

Таким образом, график представляет собой объединение двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ (биссектриса первого координатного угла) и $y = -x$ для $x \ge 0$ (луч в четвертой четверти, симметричный первому относительно оси Ox).

Ответ: График состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x \ge 0$.

2)

Уравнение: $|y - 1| = x - 2$.

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна модулю: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. График будет расположен в полуплоскости справа от прямой $x=2$.

Раскроем модуль:

1. Если $y - 1 \ge 0$ (т.е. $y \ge 1$), то $y - 1 = x - 2$, что равносильно $y = x - 1$.

2. Если $y - 1 < 0$ (т.е. $y < 1$), то $-(y - 1) = x - 2$, что равносильно $-y + 1 = x - 2$, или $y = -x + 3$.

График — это объединение двух лучей с началом в точке, где $x=2$. Подставив $x=2$ в оба уравнения, получаем $y = 2 - 1 = 1$ и $y = -2 + 3 = 1$. Оба луча выходят из точки $(2, 1)$.

Ответ: График представляет собой объединение двух лучей с общим началом в точке $(2, 1)$: луч $y = x - 1$ при $x \ge 2$ и луч $y = -x + 3$ при $x \ge 2$.

3)

Уравнение: $|x + 2y| = 1$.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1. $x + 2y = 1$

2. $x + 2y = -1$

Выразим $y$ в каждом случае:

1. $2y = -x + 1 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

2. $2y = -x - 1 \implies y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Это два уравнения прямых с одинаковым угловым коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$, следовательно, они параллельны.

Ответ: График состоит из двух параллельных прямых: $x + 2y = 1$ и $x + 2y = -1$.

4)

Уравнение: $|x + 3| = |y - 2|$.

Уравнение вида $|A| = |B|$ равносильно совокупности $A = B$ или $A = -B$.

1. $x + 3 = y - 2 \implies y = x + 5$.

2. $x + 3 = -(y - 2) \implies x + 3 = -y + 2 \implies y = -x - 1$.

График состоит из двух прямых. Угловые коэффициенты этих прямых $k_1 = 1$ и $k_2 = -1$. Так как $k_1 \cdot k_2 = -1$, прямые перпендикулярны.

Ответ: График состоит из двух пересекающихся прямых: $y = x + 5$ и $y = -x - 1$.

5)

Уравнение: $xy = |x|$.

Рассмотрим три случая для $x$.

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $xy = x$. Разделив на $x$ (так как $x \ne 0$), получаем $y=1$. Это луч, лежащий на прямой $y=1$ в правой полуплоскости ($x > 0$).

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $xy = -x$. Разделив на $x$ (так как $x \ne 0$), получаем $y=-1$. Это луч, лежащий на прямой $y=-1$ в левой полуплоскости ($x < 0$).

3. Если $x = 0$, то уравнение становится $0 \cdot y = |0|$, то есть $0=0$. Это верное равенство при любом значении $y$. Следовательно, вся ось $Oy$ ($x=0$) является частью графика.

Ответ: График состоит из всей оси ординат ($x=0$), луча $y=1$ при $x>0$ и луча $y=-1$ при $x<0$.

6)

Уравнение: $(x + 2)y = |y|$.

Рассмотрим три случая для $y$.

1. Если $y > 0$, то $|y| = y$. Уравнение принимает вид $(x + 2)y = y$. Разделив на $y$ (так как $y \ne 0$), получаем $x + 2 = 1$, откуда $x = -1$. Это луч, лежащий на прямой $x=-1$ в верхней полуплоскости ($y > 0$).

2. Если $y < 0$, то $|y| = -y$. Уравнение принимает вид $(x + 2)y = -y$. Разделив на $y$ (так как $y \ne 0$), получаем $x + 2 = -1$, откуда $x = -3$. Это луч, лежащий на прямой $x=-3$ в нижней полуплоскости ($y < 0$).

3. Если $y = 0$, то уравнение становится $(x + 2) \cdot 0 = |0|$, то есть $0=0$. Это верное равенство при любом значении $x$. Следовательно, вся ось $Ox$ ($y=0$) является частью графика.

Ответ: График состоит из всей оси абсцисс ($y=0$), луча $x=-1$ при $y>0$ и луча $x=-3$ при $y<0$.

7)

Уравнение: $|x|y = 1$.

Из уравнения следует, что $y = \frac{1}{|x|}$. Так как $|x| > 0$ (он не может быть равен нулю, иначе $0=1$), то и $y$ должен быть строго больше нуля. График расположен в верхней полуплоскости.

1. Если $x > 0$, то $y = \frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы в первой координатной четверти.

2. Если $x < 0$, то $y = \frac{1}{-x}$, или $y = -\frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы во второй координатной четверти.

График симметричен относительно оси $Oy$.

Ответ: График является объединением двух ветвей: $y = \frac{1}{x}$ при $x > 0$ (первая четверть) и $y = -\frac{1}{x}$ при $x < 0$ (вторая четверть). Это график функции $y = \frac{1}{|x|}$.

8)

Уравнение: $x|y| = 1$.

Из уравнения следует, что $|y| = \frac{1}{x}$. Так как $|y| > 0$ (он не может быть равен нулю, иначе $0=1$), то и $\frac{1}{x}$ должен быть строго больше нуля, что означает $x > 0$. График расположен в правой полуплоскости.

Раскроем модуль для $y$:

1. Если $y > 0$, то $y = \frac{1}{x}$. Учитывая $x > 0$, это ветвь гиперболы в первой координатной четверти.

2. Если $y < 0$, то $-y = \frac{1}{x}$, или $y = -\frac{1}{x}$. Учитывая $x > 0$, это ветвь гиперболы в четвертой координатной четверти.

График симметричен относительно оси $Ox$.

Ответ: График является объединением двух ветвей гиперболы при $x > 0$: $y = \frac{1}{x}$ (первая четверть) и $y = -\frac{1}{x}$ (четвертая четверть).

9)

Уравнение: $|xy| = 1$.

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1. $xy = 1$

2. $xy = -1$

Первое уравнение, $y = \frac{1}{x}$, задает гиперболу, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Второе уравнение, $y = -\frac{1}{x}$, задает гиперболу, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: График состоит из двух гипербол: $y = \frac{1}{x}$ и $y = -\frac{1}{x}$.