Номер 10.3, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.3, страница 111.

Условие.

10.3. Постройте график уравнения:

1) $x^2 = y^2$;

2) $x^2 = 4$;

3) $(x + 2)(y - 3) = 0$;

4) $y^2 + 6xy = 0$;

5) $xy - 3x + y = 3$;

6) $y^2 - 5xy + 4x^2 = 0$.

Решение.

1) $x^2 = y^2$;

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $x^2 - y^2 = 0$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для левой части уравнения: $(x - y)(x + y) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$x - y = 0$ или $x + y = 0$.
Из первого уравнения получаем $y = x$, а из второго $y = -x$.
Графиком каждого из этих уравнений является прямая. Таким образом, график исходного уравнения представляет собой объединение двух прямых: $y=x$ (биссектриса I и III координатных четвертей) и $y=-x$ (биссектриса II и IV координатных четвертей).
Ответ: График уравнения — две пересекающиеся в начале координат прямые $y=x$ и $y=-x$.

2) $x^2 = 4$;

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $\sqrt{x^2} = \sqrt{4}$, что равносильно $|x| = 2$.
Это уравнение распадается на два:
$x = 2$ или $x = -2$.
Уравнение $x=2$ задает вертикальную прямую, проходящую через точку $(2, 0)$ параллельно оси Oy. Уравнение $x=-2$ задает вертикальную прямую, проходящую через точку $(-2, 0)$ параллельно оси Oy.
Ответ: График уравнения — две вертикальные прямые $x=2$ и $x=-2$.

3) $(x + 2)(y - 3) = 0$;

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Следовательно, уравнение равносильно совокупности уравнений:
$x + 2 = 0$ или $y - 3 = 0$.
Из первого уравнения получаем $x = -2$, а из второго $y = 3$.
Уравнение $x=-2$ задает вертикальную прямую, параллельную оси Oy. Уравнение $y=3$ задает горизонтальную прямую, параллельную оси Ox.
Ответ: График уравнения — объединение двух перпендикулярных прямых: вертикальной прямой $x=-2$ и горизонтальной прямой $y=3$.

4) $y^2 + 6xy = 0$;

Вынесем общий множитель $y$ за скобки в левой части уравнения: $y(y + 6x) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$y = 0$ или $y + 6x = 0$.
Уравнение $y=0$ — это уравнение оси абсцисс (оси Ox).
Уравнение $y+6x=0$ можно переписать в виде $y = -6x$. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат.
Ответ: График уравнения — объединение двух прямых: оси Ox ($y=0$) и прямой $y=-6x$.

5) $xy - 3x + y = 3$;

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $xy - 3x + y - 3 = 0$.
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители: $(xy - 3x) + (y - 3) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x(y - 3) + 1(y - 3) = 0$.
Теперь вынесем общий множитель $(y - 3)$: $(x + 1)(y - 3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x + 1 = 0$ или $y - 3 = 0$.
Отсюда получаем $x = -1$ или $y = 3$.
Графиком является объединение вертикальной прямой $x=-1$ и горизонтальной прямой $y=3$.
Ответ: График уравнения — две перпендикулярные прямые: $x=-1$ и $y=3$.

6) $y^2 - 5xy + 4x^2 = 0$.

Это однородное уравнение второй степени. Разложим левую часть на множители. Для этого представим $-5xy$ в виде суммы $-xy - 4xy$:
$y^2 - xy - 4xy + 4x^2 = 0$.
Сгруппируем слагаемые: $(y^2 - xy) - (4xy - 4x^2) = 0$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $y(y - x) - 4x(y - x) = 0$.
Вынесем общий множитель $(y - x)$: $(y - 4x)(y - x) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$y - 4x = 0$ или $y - x = 0$.
Отсюда получаем $y = 4x$ или $y = x$.
Оба уравнения задают прямые, проходящие через начало координат.
Ответ: График уравнения — две прямые $y=x$ и $y=4x$, пересекающиеся в начале координат.