Номер 10.9, страница 111 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.9, страница 111.

Условие.

10.9. Постройте график уравнения:

1) $x = (y - 1)^2$;

2) $|x| = (y - 1)^2$;

3) $x + 2 = (y - 1)^2$;

4) $|x + 2| = (|y| - 1)^2$;

5) $|x| + 2 = (|y| - 1)^2$.

Решение.

1) $x = (y - 1)^2$

Это уравнение параболы, симметричной относительно горизонтальной оси. Оно получено из графика параболы $x=y^2$ (ветви которой направлены вправо, а вершина находится в точке $(0,0)$) путем сдвига вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вверх.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Ось симметрии — прямая $y=1$. Ветви параболы направлены вправо.

Найдем точки пересечения с осями:
- с осью $Ox$ (при $y=0$): $x = (0-1)^2 = 1$. Точка $(1,0)$.
- с осью $Oy$ (при $x=0$): $0 = (y-1)^2 \implies y=1$. Точка $(0,1)$ (вершина).

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(0, 1)$ и ветвями, направленными вправо.

2) $|x| = (y - 1)^2$

Так как $(y - 1)^2 \ge 0$, то $|x| \ge 0$, что выполняется всегда. Это уравнение можно разбить на два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и уравнение принимает вид $x=(y-1)^2$. Это парабола из пункта 1), расположенная в правой полуплоскости ($x \ge 0$).

2. Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и уравнение принимает вид $-x=(y-1)^2$, или $x=-(y-1)^2$. Это парабола с вершиной в той же точке $(0, 1)$, но ее ветви направлены влево.

График является объединением этих двух парабол. Он симметричен относительно оси $Oy$.

Ответ: Графиком являются две параболы с общей вершиной в точке $(0, 1)$, ветви одной из которых направлены вправо, а другой — влево.

3) $x + 2 = (y - 1)^2$

Перепишем уравнение в виде $x = (y - 1)^2 - 2$.

Этот график можно получить из графика $x=(y-1)^2$ (из пункта 1)) путем сдвига на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$.

Вершина параболы смещается из точки $(0, 1)$ в точку $(0-2, 1) = (-2, 1)$. Ось симметрии по-прежнему $y=1$, и ветви направлены вправо.

Найдем точки пересечения с осями:
- с осью $Ox$ (при $y=0$): $x = (0-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(-1,0)$.
- с осью $Oy$ (при $x=0$): $2=(y-1)^2 \implies y-1=\pm\sqrt{2} \implies y=1\pm\sqrt{2}$. Точки $(0, 1+\sqrt{2})$ и $(0, 1-\sqrt{2})$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-2, 1)$ и ветвями, направленными вправо.

4) $|x + 2| = (|y| - 1)^2$

Построим график с помощью последовательных преобразований.

1. Исходный график — $x+2 = (y-1)^2$ (парабола из пункта 3) с вершиной в $(-2, 1)$).

2. Применим преобразование $y \to |y|$: получим график уравнения $x+2 = (|y|-1)^2$. Для этого часть графика из пункта 3), где $y \ge 0$, оставляем без изменений, а затем симметрично отражаем ее относительно оси $Ox$. Исходная парабола для $y \ge 0$ проходит через точки $(-1,0)$ и вершину $(-2,1)$. Отраженная часть будет проходить через $(-1,0)$ и "вершину" $(-2,-1)$. Получим две ветви параболы, "растущие" из точки $(-1,0)$ и направленные влево-вверх и влево-вниз, с вершинами в $(-2,1)$ и $(-2,-1)$.

3. Применим преобразование $x \to |x+2|$: получим искомый график $|x+2| = (|y|-1)^2$. Для этого часть графика из шага 2, где $x+2 \ge 0$ (т.е. $x \ge -2$), оставляем без изменений (это и есть весь график, построенный на шаге 2), а затем симметрично отражаем ее относительно прямой $x=-2$. При отражении точки с координатами $(-2, \pm 1)$ останутся на месте, а точка $(-1,0)$ перейдет в точку $(-3,0)$.

Ответ: График состоит из четырех параболических дуг. Он симметричен относительно прямой $x=-2$ и оси $Ox$. Вершины парабол находятся в точках $(-2, 1)$ и $(-2, -1)$. График пересекает ось $Ox$ в точках $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$.

5) $|x| + 2 = (|y| - 1)^2$

Перепишем уравнение: $|x| = (|y| - 1)^2 - 2$. График этого уравнения симметричен относительно обеих координатных осей, так как при замене $x$ на $-x$ или $y$ на $-y$ уравнение не меняется. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0, y \ge 0$ и затем отразить его симметрично.

При $x \ge 0, y \ge 0$ уравнение принимает вид $x = (y-1)^2 - 2$. Это правая ветвь параболы из пункта 3). Нам нужна ее часть, лежащая в первой координатной четверти.

Условие $x \ge 0$ означает $(y-1)^2 - 2 \ge 0 \implies (y-1)^2 \ge 2 \implies |y-1| \ge \sqrt{2}$. Так как $y \ge 0$, то нам подходит только условие $y-1 \ge \sqrt{2}$, то есть $y \ge 1+\sqrt{2}$.

Таким образом, в первой четверти график представляет собой дугу параболы $x=(y-1)^2-2$, начинающуюся в точке $(0, 1+\sqrt{2})$ и уходящую вправо и вверх.

Теперь отражаем эту дугу симметрично относительно оси $Oy$, затем относительно оси $Ox$.

Ответ: График состоит из четырех отдельных параболических дуг, симметричных относительно осей координат. Две дуги начинаются в точке $(0, 1+\sqrt{2})$ и расходятся влево и вправо, ветвями вверх. Две другие дуги начинаются в точке $(0, -1-\sqrt{2})$ и расходятся влево и вправо, ветвями вниз.