Номер 10.14, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.14, страница 112.

Условие.

10.14. Постройте график уравнения:

1) $|x| - |y| = 2;$

2) $|x+1| - |y| = 2;$

3) $|x+1| - |y-1| = 2;$

4) $|x+1| - |2y-1| = 2.$

Решение.

Для построения графиков уравнений с модулями, мы будем раскрывать модули, рассматривая различные случаи в зависимости от знака выражений под модулем. Каждый случай будет определять линейное уравнение на определенной части координатной плоскости.

1) $|x| - |y| = 2$

Раскроем модули, рассмотрев 4 случая, соответствующие четырем координатным четвертям.

• 1-я четверть ($x \ge 0, y \ge 0$):
  Уравнение принимает вид $x - y = 2$, или $y = x - 2$. Это прямая, из которой мы берем часть, лежащую в первой четверти. Это луч, начинающийся в точке $(2, 0)$ и идущий вправо-вверх.

• 2-я четверть ($x < 0, y \ge 0$):
  Уравнение принимает вид $-x - y = 2$, или $y = -x - 2$. Это прямая, из которой мы берем часть, лежащую во второй четверти. Это луч, начинающийся в точке $(-2, 0)$ и идущий влево-вверх.

• 3-я четверть ($x < 0, y < 0$):
  Уравнение принимает вид $-x - (-y) = 2$, то есть $-x + y = 2$, или $y = x + 2$. Это прямая, из которой мы берем часть, лежащую в третьей четверти. Это луч, начинающийся в точке $(-2, 0)$ и идущий влево-вниз.

• 4-я четверть ($x \ge 0, y < 0$):
  Уравнение принимает вид $x - (-y) = 2$, то есть $x + y = 2$, или $y = -x + 2$. Это прямая, из которой мы берем часть, лежащую в четвертой четверти. Это луч, начинающийся в точке $(2, 0)$ и идущий вправо-вниз.

Объединив все четыре луча, мы получаем график, состоящий из двух "углов" (или "галочек"), с вершинами в точках $(2, 0)$ и $(-2, 0)$. Первый "угол" открывается вправо, второй - влево.

Ответ: График представляет собой объединение четырех лучей: $y = x - 2$ при $x \ge 2$, $y = -x + 2$ при $x \ge 2$, $y = -x - 2$ при $x \le -2$, и $y = x + 2$ при $x \le -2$. Вершины находятся в точках $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

2) $|x+1| - |y| = 2$

Этот график можно получить из графика предыдущего уравнения $|x| - |y| = 2$ с помощью преобразования. Замена $x$ на $x+1$ соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика вдоль оси Ox на 1 единицу влево.

Вершины графика из пункта 1) находились в точках $(2, 0)$ и $(-2, 0)$. После сдвига на 1 влево они переместятся в точки:

• $(2 - 1, 0) = (1, 0)$
• $(-2 - 1, 0) = (-3, 0)$

Форма графика останется прежней – два "угла", открывающиеся вправо и влево, но с новыми вершинами.

Ответ: График уравнения $|x| - |y| = 2$, сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Вершины графика находятся в точках $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

3) $|x+1| - |y-1| = 2$

Этот график можно получить из графика уравнения $|x| - |y| = 2$ (из пункта 1) с помощью двух сдвигов:

• Замена $x$ на $x+1$ сдвигает график на 1 единицу влево вдоль оси Ox.
• Замена $y$ на $y-1$ сдвигает график на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Таким образом, мы берем исходные вершины $(2, 0)$ и $(-2, 0)$ и применяем к ним оба сдвига:

• $(2 - 1, 0 + 1) = (1, 1)$
• $(-2 - 1, 0 + 1) = (-3, 1)$

Центр симметрии графика перемещается из точки $(0,0)$ в точку $(-1, 1)$.

Ответ: График уравнения $|x| - |y| = 2$, сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершины графика находятся в точках $(1, 1)$ и $(-3, 1)$.

4) $|x+1| - |2y-1| = 2$

Раскроем модули. Границы областей задаются уравнениями $x+1=0$ (т.е. $x=-1$) и $2y-1=0$ (т.е. $y=1/2$). Эти прямые делят плоскость на 4 области.

• При $x \ge -1, y \ge 1/2$:
  $(x+1) - (2y-1) = 2 \implies x+1-2y+1=2 \implies x-2y=0 \implies y = \frac{1}{2}x$.

• При $x < -1, y \ge 1/2$:
  $-(x+1) - (2y-1) = 2 \implies -x-1-2y+1=2 \implies -x-2y=2 \implies y = -\frac{1}{2}x - 1$.

• При $x < -1, y < 1/2$:
  $-(x+1) - (-(2y-1)) = 2 \implies -x-1+2y-1=2 \implies -x+2y=4 \implies y = \frac{1}{2}x + 2$.

• При $x \ge -1, y < 1/2$:
  $(x+1) - (-(2y-1)) = 2 \implies x+1+2y-1=2 \implies x+2y=2 \implies y = -\frac{1}{2}x + 1$.

Найдем вершины.
Правая вершина - пересечение прямых $y = \frac{1}{2}x$ и $y = -\frac{1}{2}x + 1$.
$\frac{1}{2}x = -\frac{1}{2}x + 1 \implies x = 1$. Тогда $y = \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}$. Вершина в точке $(1, 1/2)$.
Левая вершина - пересечение прямых $y = -\frac{1}{2}x - 1$ и $y = \frac{1}{2}x + 2$.
$-\frac{1}{2}x - 1 = \frac{1}{2}x + 2 \implies -x = 3 \implies x = -3$. Тогда $y = \frac{1}{2}(-3) + 2 = -\frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{2}$. Вершина в точке $(-3, 1/2)$.

График также состоит из двух "углов", но они "сжаты" по вертикали по сравнению с предыдущими графиками.

Ответ: График представляет собой объединение четырех лучей, образующих два "угла" с вершинами в точках $(1, 1/2)$ и $(-3, 1/2)$.