Номер 10.18, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.18, страница 112.

Условие.

10.18. Постройте график уравнения:

1) $\frac{x^2 + y^2 - 1}{|y| - 1} = 0;$

2) $\frac{|x| - |y|}{y - x^2} = 0;$

3) $\frac{|x| + |y| - 1}{1 - x^2 - y^2} = 0;$

4) $\frac{(y^2 - 4)(y + x)}{x^2 - 1} = 0;$

5) $\frac{y^2 + y}{x + y} = 1;$

6) $\frac{y^2 - y}{x^2 - x} = 1.$

Решение.

1) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому исходное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 1 = 0 \\ |y| - 1 \neq 0 \end{cases} $
Первое уравнение системы, $x^2 + y^2 = 1$, задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом 1.
Второе условие, $|y| \neq 1$, означает, что $y \neq 1$ и $y \neq -1$.
Мы должны исключить из окружности точки, у которых ордината равна 1 или -1.
- При $y = 1$, из уравнения окружности получаем $x^2 + 1^2 = 1 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$. Исключаем точку $(0, 1)$.
- При $y = -1$, из уравнения окружности получаем $x^2 + (-1)^2 = 1 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$. Исключаем точку $(0, -1)$.
Следовательно, графиком уравнения является окружность с центром в (0, 0) и радиусом 1, из которой удалены (выколоты) две точки.
Ответ: Окружность $x^2 + y^2 = 1$ с выколотыми точками $(0, 1)$ и $(0, -1)$.

2) Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} |x| - |y| = 0 \\ y - x^2 \neq 0 \end{cases} $
Первое уравнение $|x| = |y|$ задает совокупность двух прямых: $y = x$ и $y = -x$. Это биссектрисы координатных углов.
Второе условие $y \neq x^2$ означает, что из графика нужно исключить точки, лежащие на параболе $y = x^2$.
Найдем точки пересечения прямых и параболы:
- Для $y = x$: подставляем в $y = x^2$, получаем $x = x^2 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$. Отсюда $x=0$ (и $y=0$) или $x=1$ (и $y=1$). Исключаем точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
- Для $y = -x$: подставляем в $y = x^2$, получаем $-x = x^2 \implies x^2 + x = 0 \implies x(x+1) = 0$. Отсюда $x=0$ (и $y=0$) или $x=-1$ (и $y=-(-1)=1$). Исключаем точки $(0, 0)$ и $(-1, 1)$.
Таким образом, график уравнения — это две прямые $y=x$ и $y=-x$, из которых выколоты три точки.
Ответ: Объединение прямых $y=x$ и $y=-x$ с выколотыми точками $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

3) Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} |x| + |y| - 1 = 0 \\ 1 - x^2 - y^2 \neq 0 \end{cases} $
Первое уравнение $|x| + |y| = 1$ задает квадрат с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.
Второе условие $x^2 + y^2 \neq 1$ означает, что нужно исключить точки, лежащие на окружности с центром в (0, 0) и радиусом 1.
Найдем точки пересечения квадрата и окружности. Это вершины квадрата, так как для каждой из них выполняется условие $x^2 + y^2 = 1$:
- Для $(1, 0)$: $1^2 + 0^2 = 1$.
- Для $(0, 1)$: $0^2 + 1^2 = 1$.
- Для $(-1, 0)$: $(-1)^2 + 0^2 = 1$.
- Для $(0, -1)$: $0^2 + (-1)^2 = 1$.
Следовательно, графиком является квадрат, у которого выколоты все четыре вершины.
Ответ: Квадрат, заданный уравнением $|x| + |y| = 1$, с выколотыми вершинами $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

4) Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} (y^2 - 4)(y + x) = 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases} $
Первое уравнение $(y^2 - 4)(y + x) = 0$ распадается на совокупность уравнений: $y^2 - 4 = 0$ или $y + x = 0$.
- $y^2 - 4 = 0 \implies y = 2$ или $y = -2$. Это две горизонтальные прямые.
- $y + x = 0 \implies y = -x$. Это прямая, биссектриса II и IV координатных четвертей.
Второе условие $x^2 - 1 \neq 0$ означает, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Найдем точки, которые нужно исключить из графика:
- На прямой $y=2$: точки с абсциссами $x=1$ и $x=-1$, т.е. $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.
- На прямой $y=-2$: точки с абсциссами $x=1$ и $x=-1$, т.е. $(1, -2)$ и $(-1, -2)$.
- На прямой $y=-x$: точки с абсциссами $x=1$ (тогда $y=-1$) и $x=-1$ (тогда $y=1$), т.е. $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.
График состоит из трех прямых с шестью выколотыми точками.
Ответ: Объединение прямых $y=2$, $y=-2$ и $y=-x$ с выколотыми точками $(1, 2)$, $(-1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, -2)$, $(1, -1)$ и $(-1, 1)$.

5) Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $x + y \neq 0$, то есть $y \neq -x$.
На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению $y^2 + y = x + y$, которое упрощается до $y^2 = x$.
Уравнение $x = y^2$ задает параболу с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вправо вдоль оси Ox.
Теперь из этой параболы нужно исключить точки, для которых не выполняется условие ОДЗ, т.е. точки пересечения параболы $x=y^2$ и прямой $y=-x$.
Для нахождения точек пересечения решим систему:
$ \begin{cases} x = y^2 \\ y = -x \end{cases} $
Подставив второе уравнение в первое, получим: $x = (-x)^2 \implies x = x^2 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0$.
- Если $x=0$, то $y=0$. Исключаем точку $(0, 0)$.
- Если $x=1$, то $y=-1$. Исключаем точку $(1, -1)$.
Графиком является парабола с двумя выколотыми точками.
Ответ: Парабола $x = y^2$ с выколотыми точками $(0, 0)$ и $(1, -1)$.

6) ОДЗ: $x^2 - x \neq 0 \implies x(x-1) \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 1$.
На ОДЗ уравнение можно преобразовать: $y^2 - y = x^2 - x$.
Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем:
$(y^2 - x^2) - (y - x) = 0$
$(y - x)(y + x) - (y - x) = 0$
$(y - x)(y + x - 1) = 0$
Это уравнение распадается на два: $y - x = 0$ или $y + x - 1 = 0$.
- $y = x$ - первая прямая.
- $y = -x + 1$ - вторая прямая.
Теперь учтем ОДЗ, исключив точки, где $x=0$ или $x=1$.
- Для прямой $y=x$:
- при $x=0$, $y=0$. Исключаем $(0, 0)$.
- при $x=1$, $y=1$. Исключаем $(1, 1)$.
- Для прямой $y = -x + 1$:
- при $x=0$, $y=1$. Исключаем $(0, 1)$.
- при $x=1$, $y=0$. Исключаем $(1, 0)$.
Графиком является пара пересекающихся прямых с четырьмя выколотыми точками.
Ответ: Объединение прямых $y=x$ и $y=-x+1$ с выколотыми точками $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(0, 1)$ и $(1, 0)$.