Номер 10.21, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.21, страница 112.

Условие.

10.21. При каких значениях параметра a уравнение $ax - 1 = \sqrt{8x - x^2 - 15}$ имеет единственное решение?

Решение.

Рассмотрим уравнение $ax - 1 = \sqrt{8x - x^2 - 15}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $8x - x^2 - 15 \ge 0$, что равносильно $x^2 - 8x + 15 \le 0$. Корнями квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 15$ являются $x_1=3$ и $x_2=5$. Следовательно, решением неравенства является отрезок $x \in [3, 5]$. Также левая часть уравнения должна быть неотрицательной: $ax - 1 \ge 0$.

При выполнении этих условий можно возвести обе части уравнения в квадрат:
$(ax - 1)^2 = 8x - x^2 - 15$
$a^2x^2 - 2ax + 1 = 8x - x^2 - 15$
$(a^2 + 1)x^2 - (2a + 8)x + 16 = 0$.

Исходное уравнение имеет единственное решение, если полученное квадратное уравнение либо имеет один корень, удовлетворяющий ОДЗ, либо имеет два корня, из которых только один удовлетворяет ОДЗ.

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения: $D = (2a + 8)^2 - 4(a^2 + 1)(16) = 4(a^2+8a+16) - 64(a^2+1) = -60a^2 + 32a$.

Рассмотрим случай, когда квадратное уравнение имеет один корень ($D=0$). Это происходит при $4a(-15a+8)=0$, то есть $a=0$ или $a=8/15$.
При $a=0$ исходное уравнение принимает вид $-1 = \sqrt{8x - x^2 - 15}$, что не имеет решений.
При $a=8/15$ уравнение имеет один корень $x = \frac{2a + 8}{2(a^2 + 1)} = \frac{a+4}{a^2+1} = \frac{8/15+4}{(8/15)^2+1} = \frac{68/15}{289/225} = \frac{60}{17}$. Проверим условия: $x = 60/17 \in [3, 5]$ (так как $51/17 \le 60/17 \le 85/17$) и $ax - 1 = \frac{8}{15} \cdot \frac{60}{17} - 1 = \frac{32}{17} - 1 = \frac{15}{17} \ge 0$. Оба условия выполнены, значит, при $a=8/15$ есть единственное решение.

Рассмотрим случай, когда квадратное уравнение имеет два корня ($D > 0$), что соответствует $a \in (0, 8/15)$. Можно показать, что оба корня $x_1, x_2$ этого уравнения всегда принадлежат отрезку $[3, 5]$. Для единственности решения исходного уравнения необходимо, чтобы только для одного из корней выполнялось условие $ax-1 \ge 0$. Это означает, что выражения $(ax_1 - 1)$ и $(ax_2 - 1)$ должны иметь разные знаки (или одно из них равно нулю). Это равносильно условию $(ax_1 - 1)(ax_2 - 1) \le 0$.
Используя теорему Виета для уравнения $(a^2 + 1)x^2 - (2a + 8)x + 16 = 0$, преобразуем произведение:
$(ax_1 - 1)(ax_2 - 1) = a^2x_1x_2 - a(x_1 + x_2) + 1 = a^2\frac{16}{a^2+1} - a\frac{2a+8}{a^2+1} + 1 = \frac{16a^2 - (2a^2+8a) + (a^2+1)}{a^2+1} = \frac{15a^2 - 8a + 1}{a^2+1}$.
Неравенство $\frac{15a^2 - 8a + 1}{a^2+1} \le 0$ сводится к $15a^2 - 8a + 1 \le 0$. Корнями уравнения $15a^2 - 8a + 1=0$ являются $a=1/5$ и $a=1/3$, поэтому решением неравенства будет $a \in [1/5, 1/3]$.

Необходимо отдельно проверить концы этого отрезка, так как на них произведение равно нулю.
При $a=1/5$, один из корней ($x=5$) дает $ax-1=0$, а второй ($x=40/13$) дает $ax-1 < 0$. В итоге — одно решение. Значение $a=1/5$ подходит.
При $a=1/3$, один из корней ($x=3$) дает $ax-1=0$, а второй ($x=24/5$) дает $ax-1 > 0$. В итоге — два решения. Это значение нужно исключить.
Таким образом, из этого случая получаем $a \in [1/5, 1/3)$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет единственное решение при $a \in [1/5, 1/3) \cup \{8/15\}$.

Ответ: $a \in [1/5, 1/3) \cup \{8/15\}$.