Номер 10.24, страница 112 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.24, страница 112.

Условие.

10.24. Постройте график уравнения $(x^2 - 2x + 2)(y^2 + 4y + 6) = 2.$

Решение.

Для построения графика уравнения $(x^2 - 2x + 2)(y^2 + 4y + 6) = 2$ преобразуем выражения в скобках, выделив полные квадраты.

Рассмотрим первый множитель: $x^2 - 2x + 2$.
Выделим полный квадрат для переменной $x$:
$x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) - 1 + 2 = (x - 1)^2 + 1$.

Выражение $(x - 1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$.
Следовательно, наименьшее значение первого множителя равно $0 + 1 = 1$. Это значение достигается при $x = 1$. Таким образом, для всех $x$ справедливо неравенство: $x^2 - 2x + 2 \ge 1$.

Рассмотрим второй множитель: $y^2 + 4y + 6$.
Выделим полный квадрат для переменной $y$:
$y^2 + 4y + 6 = (y^2 + 4y + 4) - 4 + 6 = (y + 2)^2 + 2$.

Аналогично, выражение $(y + 2)^2$ всегда неотрицательно: $(y + 2)^2 \ge 0$.
Следовательно, наименьшее значение второго множителя равно $0 + 2 = 2$. Это значение достигается при $y = -2$. Таким образом, для всех $y$ справедливо неравенство: $y^2 + 4y + 6 \ge 2$.

Исходное уравнение можно переписать в виде:
$((x - 1)^2 + 1) \cdot ((y + 2)^2 + 2) = 2$.

Мы установили, что первый множитель $((x - 1)^2 + 1)$ всегда больше или равен 1, а второй множитель $((y + 2)^2 + 2)$ всегда больше или равен 2.

Произведение этих множителей будет больше или равно $1 \cdot 2 = 2$. Равенство в уравнении возможно только в том случае, когда оба множителя одновременно принимают свои наименьшие значения.

Это условие эквивалентно системе уравнений: $$ \begin{cases} (x - 1)^2 + 1 = 1 \\ (y + 2)^2 + 2 = 2 \end{cases} $$

Решим эту систему: $$ \begin{cases} (x - 1)^2 = 0 \\ (y + 2)^2 = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x - 1 = 0 \\ y + 2 = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x = 1 \\ y = -2 \end{cases} $$

Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение — пару чисел $(1; -2)$. Графиком этого уравнения на координатной плоскости является одна точка.

Ответ: Графиком уравнения является точка с координатами $(1; -2)$.