Номер 10.31, страница 113 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 10. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 10.31, страница 113.

Условие.

10.31. Составьте квадратное уравнение, корни которого больше соответствующих корней уравнения $x^2 + 4x - 9 = 0$ на единицу.

Решение.

Пусть корнями исходного уравнения $x^2 + 4x - 9 = 0$ являются $x_1$ и $x_2$. Требуется составить новое квадратное уравнение, корнями которого будут $y_1 = x_1 + 1$ и $y_2 = x_2 + 1$.

Для решения этой задачи можно использовать метод замены переменной. Пусть $x$ – корень исходного уравнения, а $y$ – соответствующий корень нового уравнения. По условию, $y = x + 1$.

Выразим $x$ из этого соотношения: $x = y - 1$.

Поскольку $x$ является корнем уравнения $x^2 + 4x - 9 = 0$, мы можем подставить выражение $(y - 1)$ вместо $x$ в это уравнение. Таким образом, мы получим уравнение, которому удовлетворяют новые корни $y$:
$(y - 1)^2 + 4(y - 1) - 9 = 0$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить искомое уравнение в стандартном виде:
$(y^2 - 2y + 1) + (4y - 4) - 9 = 0$
$y^2 - 2y + 1 + 4y - 4 - 9 = 0$
$y^2 + (-2y + 4y) + (1 - 4 - 9) = 0$
$y^2 + 2y - 12 = 0$

Это и есть искомое квадратное уравнение. Для стандартной записи можно заменить переменную $y$ на $x$.

Ответ: $x^2 + 2x - 12 = 0$