Номер 11.2, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.2, страница 116.

Условие.

11.2. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^2 - 4, \\ 2x + y = -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2, \\ x = y^2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x = y^2 - 4y, \\ x + y = 4. \end{cases}$

Решение.

1)

Для решения системы уравнений $\begin{cases} y = x^2 - 4, \\ 2x + y = -1 \end{cases}$ графическим методом построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $y = x^2 - 4$, задает параболу. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 4 единицы вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$, ветви направлены вверх.

Второе уравнение, $2x + y = -1$, является линейным. Выразим $y$, чтобы получить уравнение прямой в виде $y = -2x - 1$. Для построения прямой достаточно двух точек, например, $(0, -1)$ и $(1, -3)$.

Построив оба графика, мы находим их точки пересечения. Координаты этих точек и будут решением системы. В данном случае графики пересекаются в двух точках: $(-3, 5)$ и $(1, -3)$.

Проверка:
Для точки $(-3, 5)$:
$5 = (-3)^2 - 4 \implies 5 = 9 - 4 \implies 5 = 5$ (верно).
$2(-3) + 5 = -1 \implies -6 + 5 = -1 \implies -1 = -1$ (верно).
Для точки $(1, -3)$:
$-3 = 1^2 - 4 \implies -3 = 1 - 4 \implies -3 = -3$ (верно).
$2(1) + (-3) = -1 \implies 2 - 3 = -1 \implies -1 = -1$ (верно).

Ответ: $(-3, 5)$, $(1, -3)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = x^2, \\ x = y^2 \end{cases}$. Для ее графического решения построим графики обоих уравнений.

График уравнения $y = x^2$ — это стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

График уравнения $x = y^2$ — это парабола, симметричная относительно оси Ox, с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вправо. Из уравнения следует, что $x \ge 0$.

Построив обе параболы в одной системе координат, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек пересечения: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Проверка:
Для точки $(0, 0)$:
$0 = 0^2$ (верно).
$0 = 0^2$ (верно).
Для точки $(1, 1)$:
$1 = 1^2$ (верно).
$1 = 1^2$ (верно).

Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$.

3)

Решим графически систему уравнений $\begin{cases} x = y^2 - 4y, \\ x + y = 4 \end{cases}$.

Первое уравнение, $x = y^2 - 4y$, задает параболу, ветви которой направлены вправо. Для определения вершины выделим полный квадрат по переменной $y$: $x = (y^2 - 4y + 4) - 4 = (y - 2)^2 - 4$. Вершина этой параболы находится в точке $(-4, 2)$. Ось симметрии параболы — горизонтальная прямая $y = 2$.

Второе уравнение, $x + y = 4$, является линейным. Его график — прямая линия. Мы можем представить его как $y = 4 - x$ или $x = 4 - y$. Прямая проходит через точки $(4, 0)$ и $(0, 4)$.

Построим параболу и прямую в одной системе координат. Точки пересечения их графиков являются решениями системы. Графики пересекаются в двух точках: $(5, -1)$ и $(0, 4)$.

Проверка:
Для точки $(5, -1)$:
$5 = (-1)^2 - 4(-1) \implies 5 = 1 + 4 \implies 5 = 5$ (верно).
$5 + (-1) = 4 \implies 4 = 4$ (верно).
Для точки $(0, 4)$:
$0 = 4^2 - 4(4) \implies 0 = 16 - 16 \implies 0 = 0$ (верно).
$0 + 4 = 4 \implies 4 = 4$ (верно).

Ответ: $(5, -1)$, $(0, 4)$.