Номер 11.9, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.9, страница 117.

Условие.

11.9. Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений

$\begin{cases} 2x + (9a^2 - 2)y = 3a, \\ x + y = 1 \end{cases}$ не имеет решений.

Решение.

Данная система является системой двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:

$ \begin{cases} 2x + (9a^2 - 2)y = 3a, \\ x + y = 1 \end{cases} $

Такая система не имеет решений в том и только в том случае, когда прямые, задаваемые этими уравнениями, параллельны и не совпадают.

Рассмотрим метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$:

$x = 1 - y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$2(1 - y) + (9a^2 - 2)y = 3a$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выделить коэффициент при $y$:

$2 - 2y + 9a^2y - 2y = 3a$

$9a^2y - 4y = 3a - 2$

$(9a^2 - 4)y = 3a - 2$

Это линейное уравнение относительно переменной $y$. Уравнение такого вида не имеет решений, если коэффициент при $y$ равен нулю, а правая часть (свободный член) не равна нулю. Это соответствует системе условий:

$ \begin{cases} 9a^2 - 4 = 0, \\ 3a - 2 \ne 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение:

$9a^2 - 4 = 0$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$(3a - 2)(3a + 2) = 0$

Отсюда следует, что $3a - 2 = 0$ или $3a + 2 = 0$.

Решениями являются $a_1 = \frac{2}{3}$ и $a_2 = -\frac{2}{3}$.

Теперь проверим, для каких из этих значений выполняется второе условие системы $3a - 2 \ne 0$.

1. Если $a = \frac{2}{3}$, то $3a - 2 = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$. Это значение не удовлетворяет условию $3a - 2 \ne 0$. При $a = \frac{2}{3}$ уравнение для $y$ принимает вид $0 \cdot y = 0$, что верно для любого $y$, а значит, система имеет бесконечно много решений.

2. Если $a = -\frac{2}{3}$, то $3a - 2 = 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) - 2 = -2 - 2 = -4$. Так как $-4 \ne 0$, это значение удовлетворяет условию $3a - 2 \ne 0$. При $a = -\frac{2}{3}$ уравнение для $y$ принимает вид $0 \cdot y = -4$, которое не имеет решений.

Следовательно, система уравнений не имеет решений только при $a = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $a = -\frac{2}{3}$.