Номер 11.12, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.12, страница 117.

Условие.

11.12. Найдите все значения параметра $b$, при которых система уравнений $ \begin{cases} 3x + y = a, \\ ax - y = b \end{cases} $ при любых значениях параметра $a$ имеет хотя бы одно решение.

Решение.

Дана система линейных уравнений: $$ \begin{cases} 3x + y = a, \\ ax - y = b \end{cases} $$ Для того чтобы данная система линейных уравнений имела хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель основной матрицы системы был не равен нулю, либо, в случае его равенства нулю, система была совместна (то есть имела бесконечное число решений).

Найдем определитель $D$ матрицы коэффициентов системы: $$ D = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ a & -1 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-1) - 1 \cdot a = -3 - a $$

Рассмотрим два возможных случая.

1. Определитель не равен нулю ($D \neq 0$).
Это условие выполняется, если $-3 - a \neq 0$, то есть $a \neq -3$. В этом случае система имеет единственное решение для любых значений параметров $a$ и $b$.

2. Определитель равен нулю ($D = 0$).
Это условие выполняется, если $-3 - a = 0$, то есть $a = -3$. По условию задачи, система должна иметь решение для любого значения параметра $a$, значит, она должна иметь решение и при $a = -3$. В этом случае система может иметь бесконечно много решений или не иметь решений вовсе. Найдем, при каком значении $b$ система будет совместной.

Подставим $a = -3$ в исходную систему: $$ \begin{cases} 3x + y = -3, \\ -3x - y = b \end{cases} $$ Умножим второе уравнение на $-1$: $$ \begin{cases} 3x + y = -3, \\ 3x + y = -b \end{cases} $$ Чтобы эта система имела решения (в данном случае их будет бесконечно много), левые и правые части уравнений должны быть равны. Отсюда следует: $$ -3 = -b $$ $$ b = 3 $$

Таким образом, если $b \neq 3$, то при $a = -3$ система не имеет решений, что противоречит условию "при любых значениях параметра $a$". Если же $b = 3$, то при $a \neq -3$ система имеет единственное решение, а при $a = -3$ — бесконечно много решений. Следовательно, только при $b = 3$ система имеет хотя бы одно решение для любого значения параметра $a$.

Ответ: $b = 3$.