Номер 11.19, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.19, страница 118.

Условие.

11.19. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $7^n \cdot 2^{3n} - 3^{2n}$ кратно 47.

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения $7^n \cdot 2^{3n} - 3^{2n}$ кратно 47 при любом натуральном $n$, выполним следующие преобразования.

Используя свойства степеней, упростим выражение:$7^n \cdot 2^{3n} - 3^{2n} = 7^n \cdot (2^3)^n - (3^2)^n = 7^n \cdot 8^n - 9^n = (7 \cdot 8)^n - 9^n = 56^n - 9^n$.

Теперь необходимо доказать, что выражение $56^n - 9^n$ кратно 47. Воспользуемся формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$.

Применив эту формулу для $a=56$ и $b=9$, получим:$56^n - 9^n = (56 - 9)(56^{n-1} + 56^{n-2} \cdot 9 + \dots + 9^{n-1})$.

Так как $56 - 9 = 47$, то выражение можно записать в виде:$47 \cdot (56^{n-1} + 56^{n-2} \cdot 9 + \dots + 9^{n-1})$.

Поскольку $n$ — натуральное число, второй множитель является целым числом (как сумма произведений целых чисел). Следовательно, всё выражение является произведением числа 47 и целого числа, а значит, оно кратно 47 при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.