Номер 11.17, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.17, страница 118.

Условие.

11.17. Найдите все значения параметра $a$, при которых система уравнений

$\begin{cases} x = a + \sqrt{y}, \\ y^2 - x^2 - 2x + 4y + 3 = 0 \end{cases}$ имеет решения.

Решение.

Исходная система уравнений:$$\begin{cases}x = a + \sqrt{y}, \\y^2 - x^2 - 2x + 4y + 3 = 0\end{cases}$$

Рассмотрим первое уравнение. Из него следует, что $y \ge 0$. Также $\sqrt{y} = x - a$, и поскольку $\sqrt{y} \ge 0$, то должно выполняться условие $x - a \ge 0$, то есть $x \ge a$. Возведя в квадрат обе части уравнения $\sqrt{y} = x - a$, получим $y = (x-a)^2$. Это уравнение задает правую ветвь параболы с вершиной в точке $(a, 0)$.

Преобразуем второе уравнение системы, выделив полные квадраты:$y^2 + 4y + 4 - 4 - (x^2 + 2x + 1) + 1 + 3 = 0$$(y + 2)^2 - (x + 1)^2 = 0$Применим формулу разности квадратов:$((y + 2) - (x + 1))((y + 2) + (x + 1)) = 0$$(y - x + 1)(y + x + 3) = 0$

Это уравнение распадается на два, задающих две прямые:1) $y - x + 1 = 0 \implies y = x - 1$2) $y + x + 3 = 0 \implies y = -x - 3$

Таким образом, задача сводится к нахождению всех значений параметра $a$, при которых правая ветвь параболы $y = (x - a)^2$ (то есть при $x \ge a$) имеет хотя бы одну общую точку с одной из прямых $y = x - 1$ или $y = -x - 3$.

Случай 1: Пересечение параболы с прямой $y = x - 1$.

Подставим $y = x - 1$ в уравнение параболы $y = (x - a)^2$:$x - 1 = (x - a)^2$$x - 1 = x^2 - 2ax + a^2$$x^2 - (2a + 1)x + a^2 + 1 = 0$

Система будет иметь решение, если это квадратное уравнение имеет хотя бы один корень $x$, удовлетворяющий условиям $x \ge a$ и $y = x - 1 \ge 0$ (то есть $x \ge 1$). Найдем дискриминант $D$:$D = (2a + 1)^2 - 4(a^2 + 1) = 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 - 4 = 4a - 3$. Для существования действительных корней необходимо, чтобы $D \ge 0$, то есть $4a - 3 \ge 0 \implies a \ge \frac{3}{4}$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{2a + 1 \pm \sqrt{4a - 3}}{2}$. Рассмотрим корень $x_2 = \frac{2a + 1 + \sqrt{4a - 3}}{2}$. Проверим для него условия $x \ge a$ и $x \ge 1$.1) $x_2 \ge a \implies \frac{2a + 1 + \sqrt{4a - 3}}{2} \ge a \implies 2a + 1 + \sqrt{4a - 3} \ge 2a \implies 1 + \sqrt{4a - 3} \ge 0$. Это неравенство верно для всех $a \ge \frac{3}{4}$.2) $x_2 \ge 1 \implies \frac{2a + 1 + \sqrt{4a - 3}}{2} \ge 1 \implies 2a + 1 + \sqrt{4a - 3} \ge 2 \implies 2a - 1 + \sqrt{4a - 3} \ge 0$. При $a \ge \frac{3}{4}$ имеем $2a-1 \ge 2(\frac{3}{4})-1 = \frac{1}{2} > 0$, поэтому это неравенство также верно.Так как корень $x_2$ удовлетворяет всем условиям при $a \ge \frac{3}{4}$, система имеет решения в этом случае.

Случай 2: Пересечение параболы с прямой $y = -x - 3$.

Подставим $y = -x - 3$ в уравнение параболы $y = (x - a)^2$:$-x - 3 = (x - a)^2$$-x - 3 = x^2 - 2ax + a^2$$x^2 + (1 - 2a)x + a^2 + 3 = 0$

Система будет иметь решение, если это уравнение имеет хотя бы один корень $x$, удовлетворяющий условиям $x \ge a$ и $y = -x - 3 \ge 0$ (то есть $x \le -3$). Совместное выполнение условий $x \ge a$ и $x \le -3$ возможно только если $a \le -3$. Найдем дискриминант $D$:$D = (1 - 2a)^2 - 4(a^2 + 3) = 1 - 4a + 4a^2 - 4a^2 - 12 = -4a - 11$. Для существования действительных корней необходимо, чтобы $D \ge 0$, то есть $-4a - 11 \ge 0 \implies a \le -\frac{11}{4}$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(1-2a) \pm \sqrt{-4a - 11}}{2} = \frac{2a - 1 \pm \sqrt{-4a - 11}}{2}$. Проверим условие $x \ge a$:$\frac{2a - 1 \pm \sqrt{-4a - 11}}{2} \ge a \implies -1 \pm \sqrt{-4a - 11} \ge 0$. Неравенство $-1 - \sqrt{-4a - 11} \ge 0$ не имеет решений.Рассмотрим неравенство $-1 + \sqrt{-4a - 11} \ge 0 \implies \sqrt{-4a - 11} \ge 1$. Возводим в квадрат: $-4a - 11 \ge 1 \implies -4a \ge 12 \implies a \le -3$. Итак, корень, удовлетворяющий условию $x \ge a$, существует только при $a \le -3$. Это корень $x_2 = \frac{2a - 1 + \sqrt{-4a - 11}}{2}$. Проверим для него условие $x \le -3$:$\frac{2a - 1 + \sqrt{-4a - 11}}{2} \le -3 \implies \sqrt{-4a - 11} \le -2a - 5$. При $a \le -3$ правая часть $-2a-5 \ge -2(-3)-5 = 1 > 0$, поэтому можно возвести в квадрат:$-4a - 11 \le (-2a - 5)^2 \implies -4a - 11 \le 4a^2 + 20a + 25 \implies 0 \le 4a^2 + 24a + 36 \implies 0 \le a^2 + 6a + 9 \implies 0 \le (a + 3)^2$. Это неравенство верно для любых $a$. Следовательно, в этом случае решения существуют при одновременном выполнении условий $a \le -\frac{11}{4}$ и $a \le -3$, что равносильно $a \le -3$.

Итог:Система имеет решения, если выполняется хотя бы одно из условий, найденных в двух случаях.Случай 1: $a \ge \frac{3}{4}$. Случай 2: $a \le -3$. Объединяя эти два условия, получаем итоговый ответ.

Ответ: $a \in (-\infty, -3] \cup [\frac{3}{4}, +\infty)$.