Номер 11.16, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.16, страница 118.

Условие.

11.16. Найдите наибольшее значение параметра c, при котором система уравнений

$$ \begin{cases} (x + c\sqrt{3})^2 + y^2 + 6y + 8 = 0, \\ \sqrt{3}|x| + y = 6 \end{cases} $$

имеет единственное решение.

Решение.

Преобразуем уравнения системы для геометрической интерпретации.

Первое уравнение: $(x+c\sqrt{3})^2 + y^2 + 6y + 8 = 0$. Выделим полный квадрат для переменной $y$:$(x+c\sqrt{3})^2 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 8 = 0$$(x+c\sqrt{3})^2 + (y+3)^2 = 1$Это уравнение окружности с центром в точке $O(-c\sqrt{3}; -3)$ и радиусом $R=1$.

Второе уравнение: $\sqrt{3}|x| + y = 6$, или $y = 6 - \sqrt{3}|x|$. Этот график представляет собой объединение двух лучей, исходящих из точки $(0; 6)$. При $x \ge 0$, уравнение принимает вид $y = 6 - \sqrt{3}x$. Запишем его в общем виде: $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$. При $x < 0$, уравнение принимает вид $y = 6 + \sqrt{3}x$. Запишем его в общем виде: $\sqrt{3}x - y + 6 = 0$.

Система будет иметь единственное решение, если окружность будет иметь ровно одну общую точку с графиком $y = 6 - \sqrt{3}|x|$. Это возможно, когда окружность касается одного из лучей и не пересекает другой.

Условие касания окружности и прямой заключается в том, что расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу.

1. Найдем значения $c$, при которых окружность касается прямой $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$. Расстояние $d_1$ от центра $O(-c\sqrt{3}; -3)$ до этой прямой равно:$d_1 = \frac{|\sqrt{3}(-c\sqrt{3}) + 1(-3) - 6|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|-3c - 9|}{\sqrt{4}} = \frac{3|c+3|}{2}$Приравниваем расстояние радиусу $R=1$:$\frac{3|c+3|}{2} = 1 \implies |c+3| = \frac{2}{3}$Отсюда $c+3 = \frac{2}{3}$ или $c+3 = -\frac{2}{3}$.$c_1 = \frac{2}{3} - 3 = -\frac{7}{3}$$c_2 = -\frac{2}{3} - 3 = -\frac{11}{3}$

2. Найдем значения $c$, при которых окружность касается прямой $\sqrt{3}x - y + 6 = 0$. Расстояние $d_2$ от центра $O(-c\sqrt{3}; -3)$ до этой прямой равно:$d_2 = \frac{|\sqrt{3}(-c\sqrt{3}) - 1(-3) + 6|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3c + 9|}{\sqrt{4}} = \frac{3|c-3|}{2}$Приравниваем расстояние радиусу $R=1$:$\frac{3|c-3|}{2} = 1 \implies |c-3| = \frac{2}{3}$Отсюда $c-3 = \frac{2}{3}$ или $c-3 = -\frac{2}{3}$.$c_3 = 3 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}$$c_4 = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$

Мы получили четыре возможных значения параметра $c$: $-\frac{11}{3}, -\frac{7}{3}, \frac{7}{3}, \frac{11}{3}$. Проверим каждое из них.

При $c = \frac{11}{3}$:Окружность касается прямой $\sqrt{3}x - y + 6 = 0$. Расстояние до другой прямой $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ равно $d_1 = \frac{3|\frac{11}{3}+3|}{2} = \frac{3 \cdot \frac{20}{3}}{2} = 10$. Так как $d_1 = 10 > R = 1$, окружность не пересекает вторую прямую. Следовательно, есть только одна точка касания с лучом (при $x<0$), и решение единственное.

При $c = \frac{7}{3}$:Окружность касается прямой $\sqrt{3}x - y + 6 = 0$. Расстояние до другой прямой $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ равно $d_1 = \frac{3|\frac{7}{3}+3|}{2} = \frac{3 \cdot \frac{16}{3}}{2} = 8$. Так как $d_1 = 8 > R = 1$, решение единственное.

При $c = -\frac{7}{3}$:Окружность касается прямой $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$. Расстояние до другой прямой $\sqrt{3}x - y + 6 = 0$ равно $d_2 = \frac{3|-\frac{7}{3}-3|}{2} = \frac{3 \cdot \frac{16}{3}}{2} = 8$. Так как $d_2 = 8 > R = 1$, решение единственное.

При $c = -\frac{11}{3}$:Окружность касается прямой $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$. Расстояние до другой прямой $\sqrt{3}x - y + 6 = 0$ равно $d_2 = \frac{3|-\frac{11}{3}-3|}{2} = \frac{3 \cdot \frac{20}{3}}{2} = 10$. Так как $d_2 = 10 > R = 1$, решение единственное.

Таким образом, все четыре найденных значения параметра $c$ обеспечивают единственное решение. Требуется найти наибольшее из этих значений.Сравнивая числа $-\frac{11}{3}, -\frac{7}{3}, \frac{7}{3}, \frac{11}{3}$, находим, что наибольшим является $\frac{11}{3}$.

Ответ: $\frac{11}{3}$