Номер 11.18, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 11. Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 11.18, страница 118.

Условие.

11.18. Докажите, что точки пересечения парабол $y = x^2 - 5$ и $x = y^2 - 4$ лежат на одной окружности.

Решение.

Чтобы найти точки пересечения парабол, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 - 5 \\ x = y^2 - 4 \end{cases} $

Координаты $(x, y)$ любой точки пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям.

Выразим из каждого уравнения член с квадратом переменной:

$ \begin{cases} x^2 = y + 5 \\ y^2 = x + 4 \end{cases} $

Сложим левые и правые части этих уравнений. Если координаты $(x, y)$ удовлетворяют обоим уравнениям, то они будут удовлетворять и их сумме.

$x^2 + y^2 = (y + 5) + (x + 4)$

Упростим полученное выражение:

$x^2 + y^2 = x + y + 9$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 - x + y^2 - y - 9 = 0$

Это уравнение является общим уравнением окружности вида $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. Чтобы показать это явно, приведем его к каноническому виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, выделив полные квадраты.

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + (y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - 9 = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 9 = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = 9.5$

Мы получили каноническое уравнение окружности с центром в точке $(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ и радиусом $R = \sqrt{9.5}$.

Поскольку это уравнение было получено как следствие исходной системы, координаты всех точек пересечения парабол удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, все точки пересечения лежат на этой окружности.

Ответ: Что и требовалось доказать.