Номер 12.4, страница 124 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.4, страница 124.

Условие.

12.4. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}, \\x - y = 1;\end{cases}$

2) $\begin{cases}\frac{1}{y+1} = \frac{2}{x-1}, \\\frac{4}{x+2} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3};\end{cases}$

3) $\begin{cases}\frac{4}{x-1} - \frac{5}{y+1} = 1, \\\frac{4}{x+5} = \frac{2}{y}.\end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \\ x - y = 1 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$, $y \ne 0$.

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{y+1} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $y(y+1)$:

$\frac{y + (y+1)}{y(y+1)} = \frac{3}{2}$

$\frac{2y+1}{y^2+y} = \frac{3}{2}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$2(2y+1) = 3(y^2+y)$

$4y+2 = 3y^2+3y$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3y^2 + 3y - 4y - 2 = 0$

$3y^2 - y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1+5}{6} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1-5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$, используя формулу $x = y + 1$:

При $y_1 = 1$, $x_1 = 1 + 1 = 2$.

При $y_2 = -2/3$, $x_2 = -2/3 + 1 = 1/3$.

Проверим, что найденные решения удовлетворяют ОДЗ. Все значения $x$ и $y$ не равны нулю. Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2; 1)$, $(1/3; -2/3)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{y+1} = \frac{2}{x-1} \\ \frac{4}{x+2} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3} \end{cases}$

ОДЗ: $y \ne -1$, $x \ne 1$, $x \ne -2$, $y \ne 1$.

Из первого уравнения, используя свойство пропорции, выразим $x$:

$1 \cdot (x-1) = 2 \cdot (y+1)$

$x-1 = 2y+2$

$x = 2y+3$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$\frac{4}{(2y+3)+2} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3}$

$\frac{4}{2y+5} + \frac{1}{y-1} = \frac{1}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(2y+5)(y-1)$:

$\frac{4(y-1) + 1(2y+5)}{(2y+5)(y-1)} = \frac{1}{3}$

$\frac{4y-4+2y+5}{2y^2-2y+5y-5} = \frac{1}{3}$

$\frac{6y+1}{2y^2+3y-5} = \frac{1}{3}$

Снова используем свойство пропорции:

$3(6y+1) = 1(2y^2+3y-5)$

$18y+3 = 2y^2+3y-5$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$2y^2 + 3y - 18y - 5 - 3 = 0$

$2y^2 - 15y - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289 = 17^2$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{15 + 17}{4} = \frac{32}{4} = 8$

$y_2 = \frac{15 - 17}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 2y+3$:

При $y_1 = 8$, $x_1 = 2 \cdot 8 + 3 = 16+3=19$.

При $y_2 = -0.5$, $x_2 = 2 \cdot (-0.5) + 3 = -1+3=2$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(19; 8)$, $(2; -0.5)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{4}{x-1} - \frac{5}{y+1} = 1 \\ \frac{4}{x+5} = \frac{2}{y} \end{cases}$

ОДЗ: $x \ne 1$, $y \ne -1$, $x \ne -5$, $y \ne 0$.

Упростим второе уравнение, разделив обе части на 2:

$\frac{2}{x+5} = \frac{1}{y}$

Выразим $x$ из этого уравнения:

$2y = x+5$

$x = 2y-5$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$\frac{4}{(2y-5)-1} - \frac{5}{y+1} = 1$

$\frac{4}{2y-6} - \frac{5}{y+1} = 1$

$\frac{2}{y-3} - \frac{5}{y+1} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(y-3)(y+1)$:

$\frac{2(y+1) - 5(y-3)}{(y-3)(y+1)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2y+2-5y+15}{y^2+y-3y-3} = 1$

$\frac{-3y+17}{y^2-2y-3} = 1$

Умножим обе части на знаменатель:

$-3y+17 = y^2-2y-3$

Перенесем все члены в правую часть:

$y^2 - 2y + 3y - 3 - 17 = 0$

$y^2 + y - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней равна $-1$, произведение равно $-20$. Корни: $y_1=4$ и $y_2=-5$.

Или через дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$

$y_1 = \frac{-1+9}{2} = 4$

$y_2 = \frac{-1-9}{2} = -5$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 2y-5$:

При $y_1 = 4$, $x_1 = 2 \cdot 4 - 5 = 8-5=3$.

При $y_2 = -5$, $x_2 = 2 \cdot (-5) - 5 = -10-5=-15$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(3; 4)$, $(-15; -5)$.