Номер 12.10, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.10, страница 125.

Условие.

12.10. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x^2 + xy - 2x + y - 5 = 0, \\ 2x^2 - xy - 3x - y - 5 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 4xy = 5, \\ y^2 - 2xy = -1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 + xy = 12, \\ 4x + 3xy - x^2 = 16; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9} = 0, \\ y^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x^2 + xy - 2x + y - 5 = 0, \\ 2x^2 - xy - 3x - y - 5 = 0; \end{cases}$

Преобразуем каждое уравнение, группируя слагаемые:

Первое уравнение:

$(3x^2 - 2x - 5) + (xy + y) = 0$

Разложим квадратный трехчлен $3x^2 - 2x - 5$ на множители. Корни уравнения $3x^2 - 2x - 5 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = \frac{5}{3}$.

Тогда $3x^2 - 2x - 5 = 3(x+1)(x - \frac{5}{3}) = (x+1)(3x-5)$.

Уравнение принимает вид:

$(x+1)(3x-5) + y(x+1) = 0$

$(x+1)(3x-5+y) = 0$

Второе уравнение:

$(2x^2 - 3x - 5) - (xy + y) = 0$

Разложим квадратный трехчлен $2x^2 - 3x - 5$ на множители. Корни уравнения $2x^2 - 3x - 5 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = \frac{5}{2}$.

Тогда $2x^2 - 3x - 5 = 2(x+1)(x - \frac{5}{2}) = (x+1)(2x-5)$.

Уравнение принимает вид:

$(x+1)(2x-5) - y(x+1) = 0$

$(x+1)(2x-5-y) = 0$

Таким образом, исходная система эквивалентна системе:

$\begin{cases} (x+1)(3x-5+y) = 0, \\ (x+1)(2x-5-y) = 0; \end{cases}$

Эта система распадается на два случая.

Случай 1: $x+1=0$, то есть $x=-1$.

В этом случае оба уравнения системы превращаются в тождество $0=0$. Это означает, что любое значение $y$ удовлетворяет системе при $x=-1$.

Следовательно, все точки вида $(-1, y)$, где $y$ - любое действительное число, являются решениями системы.

Случай 2: $x+1 \neq 0$.

В этом случае мы можем разделить оба уравнения на $(x+1)$, получив систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 3x-5+y = 0, \\ 2x-5-y = 0; \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(3x-5+y) + (2x-5-y) = 0$

$5x - 10 = 0$

$x = 2$

Подставим $x=2$ в первое уравнение этой системы:

$3(2) - 5 + y = 0$

$6 - 5 + y = 0$

$1 + y = 0$

$y = -1$

Таким образом, мы получили еще одно решение $(2, -1)$.

Ответ: $(2; -1)$; $(-1; y)$, где $y$ — любое число.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 4xy = 5, \\ y^2 - 2xy = -1; \end{cases}$

Это система однородных уравнений. Чтобы избавиться от свободных членов, умножим первое уравнение на 1, а второе на 5 и сложим их.

$\begin{cases} x^2 + 4xy = 5, \\ 5y^2 - 10xy = -5; \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем:

$(x^2 + 4xy) + (5y^2 - 10xy) = 5 - 5$

$x^2 - 6xy + 5y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Если $y=0$, то из исходной системы $x^2=5$ и $0=-1$, что невозможно. Значит $y \neq 0$. Разделим уравнение на $y^2$:

$(\frac{x}{y})^2 - 6(\frac{x}{y}) + 5 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $t_1=1$, $t_2=5$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\frac{x}{y} = 1 \implies x=y$.

Подставим в первое уравнение исходной системы:

$y^2 + 4y(y) = 5$

$5y^2 = 5$

$y^2=1 \implies y = \pm 1$.

Если $y=1$, то $x=1$. Решение: $(1, 1)$.

Если $y=-1$, то $x=-1$. Решение: $(-1, -1)$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = 5 \implies x=5y$.

Подставим в первое уравнение исходной системы:

$(5y)^2 + 4(5y)y = 5$

$25y^2 + 20y^2 = 5$

$45y^2 = 5$

$y^2 = \frac{5}{45} = \frac{1}{9} \implies y = \pm \frac{1}{3}$.

Если $y=\frac{1}{3}$, то $x = 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$. Решение: $(\frac{5}{3}, \frac{1}{3})$.

Если $y=-\frac{1}{3}$, то $x = 5 \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{5}{3}$. Решение: $(-\frac{5}{3}, -\frac{1}{3})$.

Ответ: $(1; 1)$, $(-1; -1)$, $(\frac{5}{3}; \frac{1}{3})$, $(-\frac{5}{3}; -\frac{1}{3})$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^2 + xy = 12, \\ 4x + 3xy - x^2 = 16; \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $3xy$:

$3xy = 16 - 4x + x^2$.

Умножим первое уравнение на 3:

$3x^2 + 3y^2 + 3xy = 36$.

Подставим выражение для $3xy$ в это уравнение:

$3x^2 + 3y^2 + (16 - 4x + x^2) = 36$

$4x^2 - 4x + 3y^2 + 16 = 36$

$4x^2 - 4x + 3y^2 = 20$

Из этого уравнения выразим $3y^2$:

$3y^2 = 20 - 4x^2 + 4x$.

Теперь возведем в квадрат выражение для $3xy$: $9x^2y^2 = (x^2 - 4x + 16)^2$.

Запишем это как $3x^2(3y^2) = (x^2 - 4x + 16)^2$ и подставим выражение для $3y^2$:

$3x^2(20 - 4x^2 + 4x) = (x^2 - 4x + 16)^2$

$60x^2 - 12x^4 + 12x^3 = x^4 - 8x^3 + 16x^2 - 8x^3 + 32x^2 - 64x + 16x^2 - 64x + 256$

$-12x^4 + 12x^3 + 60x^2 = x^4 - 16x^3 + 64x^2 - 128x + 256$

$13x^4 - 28x^3 + 4x^2 - 128x + 256 = 0$

Проверяя небольшие целые числа, можно заметить, что $x=2$ является корнем этого уравнения:

$13(2)^4 - 28(2)^3 + 4(2)^2 - 128(2) + 256 = 13(16) - 28(8) + 4(4) - 256 + 256 = 208 - 224 + 16 = -16+16=0$.

Попробуем подставить $x=2$ в исходную систему:

Первое уравнение: $2^2 + y^2 + 2y = 12 \implies y^2 + 2y - 8 = 0 \implies (y+4)(y-2)=0$. Отсюда $y=2$ или $y=-4$.

Второе уравнение: $4(2) + 3(2)y - 2^2 = 16 \implies 8 + 6y - 4 = 16 \implies 6y+4=16 \implies 6y=12$. Отсюда $y=2$.

Оба уравнения удовлетворяются только при $y=2$. Таким образом, $(2, 2)$ является решением.

Разделим многочлен $13x^4 - 28x^3 + 4x^2 - 128x + 256$ на $(x-2)$.

После деления получаем: $(x-2)(13x^3 - 2x^2 - 128) = 0$.

Проверим, является ли $x=2$ корнем кубического многочлена $13x^3 - 2x^2 - 128$:

$13(2)^3 - 2(2)^2 - 128 = 13(8) - 2(4) - 128 = 104 - 8 - 128 = -32 \neq 0$.

Let's recheck the algebra. The sum was $y^2+4xy+4x = 28$. The manipulation $3 \times (1) - (2)$ gave $4x^2-4x+3y^2=20$. There might be a calculation error.Let's try summing them: $(x^2+y^2+xy)+(4x+3xy-x^2) = 12+16 \implies y^2+4xy+4x=28$.Let's try subtracting them: $(x^2+y^2+xy)-(4x+3xy-x^2) = 12-16 \implies 2x^2-4x+y^2-2xy = -4$.Let's test the pair $(2,2)$ in these derived equations.$2^2+4(2)(2)+4(2) = 4+16+8=28$. Correct.$2(2^2)-4(2)+2^2-2(2)(2) = 8-8+4-8=-4$. Correct.The path through the quartic polynomial must have a calculation error. Let's restart the quartic derivation.$3xy = x^2-4x+16$.$4x^2-4x+3y^2 = 20 \implies 3y^2=20-4x^2+4x$.$9x^2y^2 = (x^2-4x+16)^2 \implies 3x^2(3y^2) = (x^2-4x+16)^2$.$3x^2(20-4x^2+4x) = (x^2-4x+16)^2$.$60x^2-12x^4+12x^3 = (x^2-(4x-16))^2 = x^4 - 2x^2(4x-16) + (4x-16)^2 = x^4 - 8x^3 + 32x^2 + 16x^2-128x+256$.$-12x^4+12x^3+60x^2 = x^4 - 8x^3 + 48x^2 - 128x + 256$.$13x^4 - 20x^3 - 12x^2 - 128x + 256 = 0$.Testing $x=2$: $13(16)-20(8)-12(4)-128(2)+256 = 208 - 160 - 48 - 256 + 256 = 208 - 208 = 0$.The polynomial is correct. Division by $(x-2)$:$(13x^4-20x^3-12x^2-128x+256) : (x-2) = 13x^3+6x^2-128$.Let's recheck the test of $x=2$ in $13x^3-2x^2-128$: mistake in previous check, the polynomial is $13x^3+6x^2-128$.Let's check $x=2$ in $13x^3+6x^2-128$: $13(8)+6(4)-128 = 104+24-128=0$.So $x=2$ is a root again. Dividing $13x^3+6x^2-128$ by $(x-2)$:$(13x^3+6x^2-128) : (x-2) = 13x^2+32x+64$.So the quartic equation is $(x-2)^2(13x^2+32x+64) = 0$.The quadratic factor $13x^2+32x+64=0$ has discriminant $\Delta = 32^2 - 4(13)(64) = 1024 - 3328 < 0$.Thus, there are no other real roots for $x$. The only real solution for $x$ is $x=2$.As shown before, when $x=2$, the only corresponding value for $y$ is $y=2$.The solution is unique.

Ответ: $(2; 2)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9} = 0, \\ y^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0; \end{cases}$

Это симметрическая система. Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}) - (y^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}) = 0$

$x^2 - y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{2}{3}x = 0$

$(x-y)(x+y) + \frac{2}{3}(x-y) = 0$

$(x-y)(x+y+\frac{2}{3}) = 0$

Это уравнение распадается на два случая.

Случай 1: $x-y=0 \implies x=y$.

Подставим $y=x$ в первое уравнение исходной системы:

$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x - \frac{1}{3})^2 = 0$

Отсюда $x - \frac{1}{3} = 0 \implies x = \frac{1}{3}$.

Так как $y=x$, то $y = \frac{1}{3}$.

Получили решение $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$.

Случай 2: $x+y+\frac{2}{3}=0 \implies y = -x - \frac{2}{3}$.

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение исходной системы:

$x^2 - \frac{2}{3}(-x - \frac{2}{3}) + \frac{1}{9} = 0$

$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = 0$

$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{9} = 0$

Умножим уравнение на 9, чтобы избавиться от дробей:

$9x^2 + 6x + 5 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$\Delta = 6^2 - 4(9)(5) = 36 - 180 = -144$

Поскольку дискриминант отрицательный ($\Delta < 0$), это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в этом случае решений нет.

Единственным решением системы является пара, найденная в первом случае.

Ответ: $(\frac{1}{3}; \frac{1}{3})$.