Номер 12.15, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.15, страница 126.

Условие.

12.15. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} xy + 24 = \frac{x^3}{y}, \\ xy - 6 = \frac{y^3}{x}. \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^3y^5 = 4x^2y^3 - 9, \\ xy = x^2y^3 - 6. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy + 24 = \frac{x^3}{y} \\ xy - 6 = \frac{y^3}{x} \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Преобразуем уравнения, умножив первое на $y$, а второе на $x$:

$$ \begin{cases} xy^2 + 24y = x^3 \\ x^2y - 6x = y^3 \end{cases} $$

Выразим члены с константами:

$$ \begin{cases} 24y = x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) \\ 6x = x^2y - y^3 = y(x^2 - y^2) \end{cases} $$

Если предположить, что $x^2 - y^2 = 0$, то из уравнений следует, что $24y = 0$ и $6x = 0$, что означает $x=0$ и $y=0$. Однако эти значения не входят в ОДЗ. Следовательно, $x^2 - y^2 \neq 0$.

Можем разделить первое уравнение на второе:

$$ \frac{24y}{6x} = \frac{x(x^2 - y^2)}{y(x^2 - y^2)} $$

$$ \frac{4y}{x} = \frac{x}{y} $$

Отсюда получаем $4y^2 = x^2$, что равносильно $x = 2y$ или $x = -2y$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x = 2y$.

Подставим это выражение во второе исходное уравнение $xy - 6 = \frac{y^3}{x}$:

$$ (2y)y - 6 = \frac{y^3}{2y} $$

$$ 2y^2 - 6 = \frac{y^2}{2} $$

Умножим обе части уравнения на 2:

$$ 4y^2 - 12 = y^2 $$

$$ 3y^2 = 12 $$

$$ y^2 = 4 $$

Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2y_1 = 2 \cdot 2 = 4$. Получаем решение $(4, 2)$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$. Получаем решение $(-4, -2)$.

Случай 2: $x = -2y$.

Подставим это выражение во второе исходное уравнение $xy - 6 = \frac{y^3}{x}$:

$$ (-2y)y - 6 = \frac{y^3}{-2y} $$

$$ -2y^2 - 6 = -\frac{y^2}{2} $$

Умножим обе части уравнения на -2:

$$ 4y^2 + 12 = y^2 $$

$$ 3y^2 = -12 $$

$$ y^2 = -4 $$

Это уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4, 2)$, $(-4, -2)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^3y^5 = 4x^2y^3 - 9 \\ xy = x^2y^3 - 6 \end{cases} $$

Заметим, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$, так как в противном случае первое уравнение примет неверный вид $0 = -9$.

Введем новые переменные. Пусть $a = xy$ и $b = x^2y^3$.

Второе уравнение системы в новых переменных запишется как:

$$ a = b - 6 \implies b = a + 6 $$

Преобразуем левую часть первого уравнения: $x^3y^5 = (x^2y^3)(xy^2)$.

Также, $b = x^2y^3 = (xy)(xy^2) = a \cdot xy^2$. Отсюда $xy^2 = \frac{b}{a}$.

Теперь перепишем первое уравнение целиком в новых переменных:

$$ (x^2y^3)(xy^2) = 4(x^2y^3) - 9 $$

$$ b \cdot \frac{b}{a} = 4b - 9 $$

$$ \frac{b^2}{a} = 4b - 9 $$

Подставим выражение $b = a + 6$:

$$ \frac{(a+6)^2}{a} = 4(a+6) - 9 $$

$$ \frac{a^2 + 12a + 36}{a} = 4a + 24 - 9 $$

$$ \frac{a^2 + 12a + 36}{a} = 4a + 15 $$

Так как $a = xy \neq 0$, умножим обе части на $a$:

$$ a^2 + 12a + 36 = 4a^2 + 15a $$

$$ 3a^2 + 3a - 36 = 0 $$

Разделим уравнение на 3:

$$ a^2 + a - 12 = 0 $$

По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $a_1 = 3$ и $a_2 = -4$.

Рассмотрим два случая для $a = xy$:

Случай 1: $a = xy = 3$.

Тогда $b = x^2y^3 = a + 6 = 3 + 6 = 9$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} xy = 3 \\ x^2y^3 = 9 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x = \frac{3}{y}$ и подставим во второе:

$$ (\frac{3}{y})^2 y^3 = 9 $$

$$ \frac{9}{y^2} y^3 = 9 $$

$$ 9y = 9 \implies y = 1 $$

Тогда $x = \frac{3}{1} = 3$. Первое решение: $(3, 1)$.

Случай 2: $a = xy = -4$.

Тогда $b = x^2y^3 = a + 6 = -4 + 6 = 2$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} xy = -4 \\ x^2y^3 = 2 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x = -\frac{4}{y}$ и подставим во второе:

$$ (-\frac{4}{y})^2 y^3 = 2 $$

$$ \frac{16}{y^2} y^3 = 2 $$

$$ 16y = 2 \implies y = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} $$

Тогда $x = -\frac{4}{1/8} = -4 \cdot 8 = -32$. Второе решение: $(-32, \frac{1}{8})$.

Ответ: $(3, 1)$, $(-32, \frac{1}{8})$.