Номер 12.17, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.17, страница 126.

Условие.

12.17. Решите систему уравнений $\begin{cases} (x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2y^2) = 1 + 4y^4, \\ (x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2y^2) = 1 - 4y^4. \end{cases}$

Решение.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2y^2) = 1 + 4y^4 \\ (x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2y^2) = 1 - 4y^4 \end{cases} $$

Перемножим левые и правые части уравнений системы:

$$ ((x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2y^2)) \cdot ((x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2y^2)) = (1 + 4y^4)(1 - 4y^4) $$

Сгруппируем множители в левой части для удобства:

$$ [(x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2)] \cdot [(x^2 + 2y^2)(x^2 - 2y^2)] = (1 + 4y^4)(1 - 4y^4) $$

Упростим выражения в каждой из квадратных скобок, используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.

Для первого произведения, $ (x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2) $, представим его в виде $ ((x^2+2y^2) - 2xy)((x^2+2y^2) + 2xy) $. Тогда:

$$ (x^2+2y^2)^2 - (2xy)^2 = (x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4) - 4x^2y^2 = x^4 + 4y^4 $$

Для второго произведения, $ (x^2 + 2y^2)(x^2 - 2y^2) $:

$$ (x^2)^2 - (2y^2)^2 = x^4 - 4y^4 $$

Правая часть уравнения равна:

$$ (1 + 4y^4)(1 - 4y^4) = 1^2 - (4y^4)^2 = 1 - 16y^8 $$

Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение, полученное после перемножения:

$$ (x^4 + 4y^4)(x^4 - 4y^4) = 1 - 16y^8 $$

Снова применяем формулу разности квадратов к левой части:

$$ (x^4)^2 - (4y^4)^2 = 1 - 16y^8 $$

$$ x^8 - 16y^8 = 1 - 16y^8 $$

Прибавив $ 16y^8 $ к обеим частям, получаем простое уравнение:

$$ x^8 = 1 $$

В действительных числах это уравнение имеет два корня: $ x = 1 $ и $ x = -1 $. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: x = 1

Подставим $ x=1 $ в первое уравнение исходной системы:

$$ (1^2 - 2(1)y + 2y^2)(1^2 + 2y^2) = 1 + 4y^4 $$

$$ (1 - 2y + 2y^2)(1 + 2y^2) = 1 + 4y^4 $$

Раскроем скобки в левой части:

$$ 1(1+2y^2) - 2y(1+2y^2) + 2y^2(1+2y^2) = 1 + 4y^4 $$

$$ 1 + 2y^2 - 2y - 4y^3 + 2y^2 + 4y^4 = 1 + 4y^4 $$

$$ 1 - 2y + 4y^2 - 4y^3 + 4y^4 = 1 + 4y^4 $$

Упростим уравнение:

$$ -2y + 4y^2 - 4y^3 = 0 $$

Вынесем общий множитель $ -2y $ за скобки:

$$ -2y(1 - 2y + 2y^2) = 0 $$

Отсюда следует, что либо $ y = 0 $, либо $ 2y^2 - 2y + 1 = 0 $.

Решим квадратное уравнение $ 2y^2 - 2y + 1 = 0 $. Его дискриминант $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 $. Поскольку $ D < 0 $, у этого уравнения нет действительных корней.

Следовательно, в этом случае единственное решение — $ y = 0 $. Мы получили пару чисел $ (1, 0) $. Проверим, удовлетворяет ли она второму уравнению системы:

$$ (1^2 + 2(1)(0) + 2(0)^2)(1^2 - 2(0)^2) = 1 - 4(0)^4 \implies (1)(1) = 1 \implies 1 = 1 $$

Равенство верное, значит, $ (1, 0) $ является решением системы.

Случай 2: x = -1

Подставим $ x=-1 $ в первое уравнение исходной системы:

$$ ((-1)^2 - 2(-1)y + 2y^2)((-1)^2 + 2y^2) = 1 + 4y^4 $$

$$ (1 + 2y + 2y^2)(1 + 2y^2) = 1 + 4y^4 $$

Раскроем скобки в левой части:

$$ 1(1+2y^2) + 2y(1+2y^2) + 2y^2(1+2y^2) = 1 + 4y^4 $$

$$ 1 + 2y^2 + 2y + 4y^3 + 2y^2 + 4y^4 = 1 + 4y^4 $$

$$ 1 + 2y + 4y^2 + 4y^3 + 4y^4 = 1 + 4y^4 $$

Упростим уравнение:

$$ 2y + 4y^2 + 4y^3 = 0 $$

Вынесем общий множитель $ 2y $ за скобки:

$$ 2y(1 + 2y + 2y^2) = 0 $$

Отсюда следует, что либо $ y = 0 $, либо $ 2y^2 + 2y + 1 = 0 $.

Решим квадратное уравнение $ 2y^2 + 2y + 1 = 0 $. Его дискриминант $ D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 $. Поскольку $ D < 0 $, у этого уравнения нет действительных корней.

Следовательно, и в этом случае единственное решение — $ y = 0 $. Мы получили пару чисел $ (-1, 0) $. Проверим, удовлетворяет ли она второму уравнению системы:

$$ ((-1)^2 + 2(-1)(0) + 2(0)^2)((-1)^2 - 2(0)^2) = 1 - 4(0)^4 \implies (1)(1) = 1 \implies 1 = 1 $$

Равенство верное, значит, $ (-1, 0) $ также является решением системы.

Объединяя результаты обоих случаев, мы нашли все действительные решения системы.

Ответ: $ (1, 0) $; $ (-1, 0) $.