Номер 12.21, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 12. Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения - номер 12.21, страница 127.

Условие.

12.21. Решите систему уравнений

$\begin{cases} \frac{x(y^2 + 1)}{x^2 + y^2} = \frac{3}{5}, \\ \frac{y(x^2 - 1)}{x^2 + y^2} = \frac{4}{5}. \end{cases}$

Решение.

Исходная система уравнений:$$\begin{cases}\frac{x(y^2 + 1)}{x^2 + y^2} = \frac{3}{5} \\\frac{y(x^2 - 1)}{x^2 + y^2} = \frac{4}{5}\end{cases}$$Заметим, что знаменатель $x^2 + y^2$ не может быть равен нулю, следовательно, $x$ и $y$ не равны нулю одновременно.

Возведем оба уравнения системы в квадрат и сложим их. Это позволит нам использовать основное тригонометрическое тождество для чисел $3/5$ и $4/5$, так как $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$.$$\left(\frac{x(y^2 + 1)}{x^2 + y^2}\right)^2 + \left(\frac{y(x^2 - 1)}{x^2 + y^2}\right)^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2$$$$\frac{x^2(y^2 + 1)^2 + y^2(x^2 - 1)^2}{(x^2 + y^2)^2} = 1$$Умножим обе части на $(x^2+y^2)^2$ и раскроем скобки в числителе:$$x^2(y^4 + 2y^2 + 1) + y^2(x^4 - 2x^2 + 1) = (x^2 + y^2)^2$$$$x^2y^4 + 2x^2y^2 + x^2 + x^4y^2 - 2x^2y^2 + y^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$$Приведем подобные слагаемые:$$x^2y^4 + x^4y^2 + x^2 + y^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$$Перегруппируем члены уравнения:$$x^2 + y^2 - x^4 - y^4 - 2x^2y^2 + x^2y^4 + x^4y^2 = 0$$$$(x^2 + y^2) - (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) + (x^2y^4 + x^4y^2) = 0$$$$(x^2 + y^2) - (x^2 + y^2)^2 + x^2y^2(y^2 + x^2) = 0$$Вынесем общий множитель $(x^2 + y^2)$:$$(x^2 + y^2)(1 - (x^2 + y^2) + x^2y^2) = 0$$Так как $x^2 + y^2 \neq 0$, мы можем разделить на этот множитель:$$1 - x^2 - y^2 + x^2y^2 = 0$$Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:$$(1 - x^2) - y^2(1 - x^2) = 0$$$$(1 - x^2)(1 - y^2) = 0$$Это уравнение выполняется, если $1 - x^2 = 0$ или $1 - y^2 = 0$, то есть $x^2 = 1$ или $y^2 = 1$.

Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: $x^2 = 1$.
Если $x^2 = 1$, то $x=1$ или $x=-1$. Подставим это условие во второе уравнение исходной системы:$$\frac{y(1 - 1)}{1 + y^2} = \frac{0}{1 + y^2} = 0$$Однако правая часть второго уравнения равна $4/5$. Мы получаем противоречие $0 = 4/5$. Следовательно, случай $x^2=1$ не приводит к решениям.

Случай 2: $y^2 = 1$.
Если $y^2 = 1$, то $y=1$ или $y=-1$. Рассмотрим каждый из этих подслучаев.

Подслучай 2а: $y = 1$.
Подставим $y=1$ в оба уравнения системы.
Из первого уравнения:$$\frac{x(1^2 + 1)}{x^2 + 1^2} = \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{3}{5}$$$$10x = 3(x^2 + 1) \implies 3x^2 - 10x + 3 = 0$$Решая это квадратное уравнение, находим корни:$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}$, откуда $x_1 = 3$, $x_2 = \frac{1}{3}$.
Из второго уравнения:$$\frac{1(x^2 - 1)}{x^2 + 1^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = \frac{4}{5}$$$$5(x^2 - 1) = 4(x^2 + 1) \implies 5x^2 - 5 = 4x^2 + 4 \implies x^2 = 9$$Отсюда $x = 3$ или $x = -3$.
Общим решением для обоих уравнений при $y=1$ является $x=3$. Таким образом, мы нашли одно решение системы: $(3, 1)$.

Подслучай 2б: $y = -1$.
Подставим $y=-1$ в оба уравнения системы.
Из первого уравнения:$$\frac{x((-1)^2 + 1)}{x^2 + (-1)^2} = \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{3}{5}$$Это уравнение совпадает с уравнением из подслучая 2а, его корни $x_1 = 3$ и $x_2 = \frac{1}{3}$.
Из второго уравнения:$$\frac{-1(x^2 - 1)}{x^2 + (-1)^2} = \frac{-(x^2 - 1)}{x^2 + 1} = \frac{4}{5}$$$$-5(x^2 - 1) = 4(x^2 + 1) \implies -5x^2 + 5 = 4x^2 + 4 \implies 1 = 9x^2$$Отсюда $x^2 = 1/9$, что дает $x = 1/3$ или $x = -1/3$.
Общим решением для обоих уравнений при $y=-1$ является $x=1/3$. Таким образом, мы нашли второе решение системы: $(1/3, -1)$.

Ответ: $(3; 1)$, $(1/3; -1)$.