Вопросы?, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - страница 133.

Условие.

1. Какой многочлен называют однородным?

2. Какой многочлен называют симметрическим?

3. Какие многочлены называют элементарными симметрическими многочленами от $x$ и $y$?

4. Как можно представить любой симметрический многочлен от переменных $x$ и $y$?

Решение.

1. Какой многочлен называют однородным?

Многочлен называют однородным, если все его члены (одночлены) имеют одинаковую степень. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.

Например, многочлен $P(x, y) = 7x^3 - 2x^2y + 5xy^2 - y^3$ является однородным многочленом третьей степени, так как:

• степень члена $7x^3$ равна $3$;
• степень члена $-2x^2y$ равна $2+1=3$;
• степень члена $5xy^2$ равна $1+2=3$;
• степень члена $-y^3$ равна $3$.

Все члены имеют степень $3$.

Ответ: Однородным называют многочлен, у которого все его члены имеют одинаковую общую степень.

2. Какой многочлен называют симметрическим?

Многочлен от нескольких переменных называют симметрическим, если он не изменяется при любой перестановке (замене местами) его переменных.

Для многочлена $P(x, y)$ от двух переменных это означает, что должно выполняться тождество $P(x, y) = P(y, x)$.

Например, многочлен $P(x, y) = x^2 + y^2 - 3xy$ является симметрическим, потому что при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ мы получаем: $P(y, x) = y^2 + x^2 - 3yx = x^2 + y^2 - 3xy = P(x, y)$.

Ответ: Симметрическим называют многочлен, который не изменяется при любой перестановке его переменных.

3. Какие многочлены называют элементарными симметрическими многочленами от x и y?

Элементарными (или простейшими) симметрическими многочленами от двух переменных $x$ и $y$ называют два многочлена:

1. Сумма переменных: $\sigma_1 = x + y$
2. Произведение переменных: $\sigma_2 = xy$

Эти многочлены являются "строительными блоками" для всех остальных симметрических многочленов от двух переменных.

Ответ: Элементарными симметрическими многочленами от $x$ и $y$ называют многочлены $x+y$ и $xy$.

4. Как можно представить любой симметрический многочлен от переменных x и y?

Любой симметрический многочлен от переменных $x$ и $y$ можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов $\sigma_1 = x+y$ и $\sigma_2 = xy$. Это утверждение является следствием основной теоремы о симметрических многочленах.

Это означает, что для любого симметрического многочлена $P(x, y)$ существует единственный многочлен $Q(a, b)$ такой, что $P(x, y) = Q(x+y, xy)$.

Например, симметрический многочлен $P(x, y) = x^3 + y^3$ можно представить через $\sigma_1$ и $\sigma_2$. Используя формулу куба суммы, имеем: $\sigma_1^3 = (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = (x^3 + y^3) + 3xy(x+y) = (x^3+y^3) + 3\sigma_2\sigma_1$. Отсюда выражаем $x^3+y^3$: $x^3 + y^3 = \sigma_1^3 - 3\sigma_1\sigma_2$.

Ответ: Любой симметрический многочлен от переменных $x$ и $y$ можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов $x+y$ и $xy$.