Номер 13.4, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.4, страница 134.

Условие.

13.4. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2y - xy^2 = 6, \\ xy + x - y = -5; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} xy - \frac{x}{y} = \frac{16}{3}, \\ xy - \frac{y}{x} = \frac{9}{2}; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \sqrt{\frac{x+1}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{x+1}} = 2, \\ \sqrt{\frac{x+1}{y+2}} - \sqrt{\frac{y+2}{x+1}} = \frac{3}{2}; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x + y + \frac{x^2}{y^2} = 7, \\ \frac{(x+y)x^2}{y^2} = 12. \end{cases} $

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2y - xy^2 = 6 \\ xy + x - y = -5 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, вынеся общий множитель $xy$ за скобки:

$xy(x - y) = 6$

Во втором уравнении сгруппируем $x-y$:

$xy + (x - y) = -5$

Введем замену переменных. Пусть $a = xy$ и $b = x - y$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} ab = 6 \\ a + b = -5 \end{cases} $$

Согласно теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$:

$t^2 - (-5)t + 6 = 0$

$t^2 + 5t + 6 = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = -2$ и $t_2 = -3$.

Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: $a = -2, b = -3$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \begin{cases} xy = -2 \\ x - y = -3 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = y - 3$. Подставим в первое уравнение:

$(y - 3)y = -2$

$y^2 - 3y + 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 1, y_2 = 2$.

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 - 3 = -2$. Получаем решение $(-2, 1)$.

Если $y_2 = 2$, то $x_2 = 2 - 3 = -1$. Получаем решение $(-1, 2)$.

Случай 2: $a = -3, b = -2$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \begin{cases} xy = -3 \\ x - y = -2 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = y - 2$. Подставим в первое уравнение:

$(y - 2)y = -3$

$y^2 - 2y + 3 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$. Действительных корней нет.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-2, 1)$, $(-1, 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy - \frac{x}{y} = \frac{16}{3} \\ xy - \frac{y}{x} = \frac{9}{2} \end{cases} $$

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Введем замену переменных. Пусть $a = xy$ и $b = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{b}$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} a - b = \frac{16}{3} \\ a - \frac{1}{b} = \frac{9}{2} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = b + \frac{16}{3}$. Подставим во второе уравнение:

$(b + \frac{16}{3}) - \frac{1}{b} = \frac{9}{2}$

Приведем к общему знаменателю $6b$:

$6b^2 + 32b - 6 = 27b$

$6b^2 + 5b - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $b$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

$b_1 = \frac{-5 + 13}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$b_2 = \frac{-5 - 13}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $b = \frac{2}{3}$

Тогда $a = \frac{2}{3} + \frac{16}{3} = \frac{18}{3} = 6$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \begin{cases} xy = 6 \\ \frac{x}{y} = \frac{2}{3} \end{cases} $$

Из второго уравнения $x = \frac{2}{3}y$. Подставим в первое:

$(\frac{2}{3}y)y = 6 \implies \frac{2}{3}y^2 = 6 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3$.

Если $y_1 = 3$, то $x_1 = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$. Решение $(2, 3)$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2$. Решение $(-2, -3)$.

Случай 2: $b = -\frac{3}{2}$

Тогда $a = -\frac{3}{2} + \frac{16}{3} = \frac{-9+32}{6} = \frac{23}{6}$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \begin{cases} xy = \frac{23}{6} \\ \frac{x}{y} = -\frac{3}{2} \end{cases} $$

Из второго уравнения $x = -\frac{3}{2}y$. Подставим в первое:

$(-\frac{3}{2}y)y = \frac{23}{6} \implies -\frac{3}{2}y^2 = \frac{23}{6} \implies y^2 = -\frac{23}{9}$.

В этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(2, 3)$, $(-2, -3)$.

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{\frac{x+1}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{x+1}} = 2 \\ \sqrt{\frac{x+1}{y+2}} - \sqrt{\frac{y+2}{x+1}} = \frac{3}{2} \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $\frac{x+1}{x+y} > 0$ и $\frac{x+1}{y+2} > 0$.

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{\frac{x+1}{x+y}}$ и $b = \sqrt{\frac{x+1}{y+2}}$. Заметим, что $a > 0$ и $b > 0$. Тогда $\sqrt{\frac{x+y}{x+1}} = \frac{1}{a}$ и $\sqrt{\frac{y+2}{x+1}} = \frac{1}{b}$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} a + \frac{1}{a} = 2 \\ b - \frac{1}{b} = \frac{3}{2} \end{cases} $$

Решим первое уравнение относительно $a$:

$a^2 - 2a + 1 = 0 \implies (a-1)^2 = 0 \implies a = 1$.

Решим второе уравнение относительно $b$:

$2b^2 - 2 = 3b \implies 2b^2 - 3b - 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$b_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.

$b_1 = \frac{8}{4} = 2$, $b_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Так как по условию $b>0$, то выбираем корень $b=2$.

Теперь вернемся к исходным переменным:

$a = \sqrt{\frac{x+1}{x+y}} = 1 \implies \frac{x+1}{x+y} = 1 \implies x+1 = x+y \implies y = 1$.

$b = \sqrt{\frac{x+1}{y+2}} = 2 \implies \frac{x+1}{y+2} = 4$.

Подставим найденное значение $y=1$ во второе соотношение:

$\frac{x+1}{1+2} = 4 \implies \frac{x+1}{3} = 4 \implies x+1 = 12 \implies x = 11$.

Проверим найденное решение $(11, 1)$ по ОДЗ: $\frac{x+1}{x+y} = \frac{12}{12} = 1 > 0$ и $\frac{x+1}{y+2} = \frac{12}{3} = 4 > 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(11, 1)$.

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y + \frac{x^2}{y^2} = 7 \\ (x + y)\frac{x^2}{y^2} = 12 \end{cases} $$

Область допустимых значений: $y \neq 0$.

Введем замену переменных. Пусть $a = x+y$ и $b = \frac{x^2}{y^2}$. Заметим, что $b \ge 0$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} a + b = 7 \\ ab = 12 \end{cases} $$

Согласно теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: $a = 3, b = 4$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \begin{cases} x+y = 3 \\ \frac{x^2}{y^2} = 4 \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем $\frac{x}{y} = 2$ или $\frac{x}{y} = -2$.

Если $\frac{x}{y} = 2$, то $x = 2y$. Подставляя в первое уравнение: $2y+y=3 \implies 3y=3 \implies y=1$. Тогда $x=2$. Получаем решение $(2, 1)$.

Если $\frac{x}{y} = -2$, то $x = -2y$. Подставляя в первое уравнение: $-2y+y=3 \implies -y=3 \implies y=-3$. Тогда $x=6$. Получаем решение $(6, -3)$.

Случай 2: $a = 4, b = 3$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$ \begin{cases} x+y = 4 \\ \frac{x^2}{y^2} = 3 \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем $\frac{x}{y} = \sqrt{3}$ или $\frac{x}{y} = -\sqrt{3}$.

Если $\frac{x}{y} = \sqrt{3}$, то $x = y\sqrt{3}$. Подставляя в первое уравнение: $y\sqrt{3}+y=4 \implies y(\sqrt{3}+1)=4 \implies y = \frac{4}{\sqrt{3}+1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{3-1} = 2(\sqrt{3}-1)$.

Тогда $x = y\sqrt{3} = 2(\sqrt{3}-1)\sqrt{3} = 2(3-\sqrt{3}) = 6 - 2\sqrt{3}$. Получаем решение $(6-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}-2)$.

Если $\frac{x}{y} = -\sqrt{3}$, то $x = -y\sqrt{3}$. Подставляя в первое уравнение: $-y\sqrt{3}+y=4 \implies y(1-\sqrt{3})=4 \implies y = \frac{4}{1-\sqrt{3}} = \frac{4(1+\sqrt{3})}{1-3} = -2(1+\sqrt{3})$.

Тогда $x = -y\sqrt{3} = -(-2(1+\sqrt{3}))\sqrt{3} = 2(3+\sqrt{3}) = 6+2\sqrt{3}$. Получаем решение $(6+2\sqrt{3}, -2-2\sqrt{3})$.

Ответ: $(2, 1)$, $(6, -3)$, $(6-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}-2)$, $(6+2\sqrt{3}, -2-2\sqrt{3})$.