Номер 13.10, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.10, страница 135.

Условие.

13.10. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + 4xy - 5y^2 = 0, \\ x^2 - 3xy + 4y = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x^2 + 3xy - 5y^2 = 0, \\ x + y^2 + 1 = 0. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 4xy - 5y^2 = 0, \\ x^2 - 3xy + 4y = 0. \end{cases} $

Первое уравнение является однородным квадратным уравнением. Разложим его левую часть на множители. Можно рассматривать это уравнение как квадратное относительно переменной $x$. Найдем его корни: $D = (4y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5y^2) = 16y^2 + 20y^2 = 36y^2 = (6y)^2$. $x = \frac{-4y \pm 6y}{2}.$ Отсюда получаем два случая: $x = \frac{-4y+6y}{2} = y$ и $x = \frac{-4y-6y}{2} = -5y$. Таким образом, первое уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x=y$ или $x=-5y$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя полученные выражения для $x$ во второе уравнение системы.

Случай 1: $x = y$.
Подставим $x=y$ во второе уравнение $x^2 - 3xy + 4y = 0$: $y^2 - 3y(y) + 4y = 0$
$y^2 - 3y^2 + 4y = 0$
$-2y^2 + 4y = 0$
$-2y(y - 2) = 0$
Отсюда $y_1 = 0$ или $y_2 = 2$.
Если $y_1 = 0$, то $x_1 = y_1 = 0$. Получаем решение $(0, 0)$.
Если $y_2 = 2$, то $x_2 = y_2 = 2$. Получаем решение $(2, 2)$.

Случай 2: $x = -5y$.
Подставим $x=-5y$ во второе уравнение $x^2 - 3xy + 4y = 0$: $(-5y)^2 - 3(-5y)y + 4y = 0$
$25y^2 + 15y^2 + 4y = 0$
$40y^2 + 4y = 0$
$4y(10y + 1) = 0$
Отсюда $y_3 = 0$ или $10y+1 = 0 \implies y_4 = -1/10$.
Если $y_3 = 0$, то $x_3 = -5(0) = 0$. Получаем решение $(0, 0)$, которое уже было найдено.
Если $y_4 = -1/10$, то $x_4 = -5(-1/10) = 1/2$. Получаем решение $(1/2, -1/10)$.

Объединяя все найденные решения, получаем три пары чисел.

Ответ: $(0, 0)$, $(2, 2)$, $(1/2, -1/10)$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 + 3xy - 5y^2 = 0, \\ x + y^2 + 1 = 0. \end{cases} $

Первое уравнение является однородным квадратным уравнением. Решим его относительно $x$: $D = (3y)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5y^2) = 9y^2 + 40y^2 = 49y^2 = (7y)^2$. $x = \frac{-3y \pm 7y}{4}.$ Отсюда получаем два случая: $x = \frac{-3y+7y}{4} = \frac{4y}{4} = y$ и $x = \frac{-3y-7y}{4} = \frac{-10y}{4} = -\frac{5}{2}y$. Первое уравнение системы равносильно совокупности $x=y$ или $x=-5y/2$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя полученные выражения для $x$ во второе уравнение системы.

Случай 1: $x = y$.
Подставим $x=y$ во второе уравнение $x + y^2 + 1 = 0$: $y + y^2 + 1 = 0$
$y^2 + y + 1 = 0$
Дискриминант этого квадратного уравнения $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: $x = -5y/2$.
Подставим $x=-5y/2$ во второе уравнение $x + y^2 + 1 = 0$: $-\frac{5}{2}y + y^2 + 1 = 0$
Умножим все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: $-5y + 2y^2 + 2 = 0$
$2y^2 - 5y + 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.
$y_1 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$y_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = 1/2$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ из соотношения $x = -5y/2$.
Если $y_1 = 2$, то $x_1 = -\frac{5}{2} \cdot 2 = -5$. Получаем решение $(-5, 2)$.
Если $y_2 = 1/2$, то $x_2 = -\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = -5/4$. Получаем решение $(-5/4, 1/2)$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(-5, 2)$, $(-5/4, 1/2)$.