Номер 13.17, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.17, страница 135.

Условие.

13.17. Решите систему уравнений:

1) $$ \begin{cases} xy(x-1)(y-1) = 72, \\ (x+1)(y+1) = 20; \end{cases} $$

2) $$ \begin{cases} (x+1)(y+1) = 10, \\ (x+y)(xy+1) = 25. \end{cases} $$

Решение.

1)

Решим систему уравнений:
$\begin{cases} xy(x-1)(y-1) = 72 \\ (x+1)(y+1) = 20 \end{cases}$

Преобразуем оба уравнения. Раскроем скобки в каждом из них:
$\begin{cases} xy(xy - x - y + 1) = 72 \\ xy + x + y + 1 = 20 \end{cases}$

Для упрощения системы введем замену переменных. Пусть $u = x+y$ и $v = xy$. Тогда система примет вид:
$\begin{cases} v(v - u + 1) = 72 \\ v + u + 1 = 20 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $u$: $u = 19 - v$.
Подставим это выражение для $u$ в первое уравнение системы:
$v(v - (19 - v) + 1) = 72$
$v(v - 19 + v + 1) = 72$
$v(2v - 18) = 72$
$2v^2 - 18v - 72 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:
$v^2 - 9v - 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $v$. Найдем дискриминант:
$D = (-9)^2 - 4(1)(-36) = 81 + 144 = 225 = 15^2$
Корни уравнения:
$v_1 = \frac{9 + 15}{2} = 12$
$v_2 = \frac{9 - 15}{2} = -3$

Теперь необходимо рассмотреть два случая, соответствующих найденным значениям $v$.

Случай 1: $v = 12$.
Это означает, что $xy = 12$.
Находим соответствующее значение $u$: $u = 19 - v = 19 - 12 = 7$.
Это означает, что $x+y = 7$.
Получаем систему для нахождения $x$ и $y$:
$\begin{cases} x+y = 7 \\ xy = 12 \end{cases}$
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$.
Корни этого уравнения $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.
Таким образом, получаем две пары решений: $(3, 4)$ и $(4, 3)$.

Случай 2: $v = -3$.
Это означает, что $xy = -3$.
Находим соответствующее значение $u$: $u = 19 - v = 19 - (-3) = 22$.
Это означает, что $x+y = 22$.
Получаем систему для нахождения $x$ и $y$:
$\begin{cases} x+y = 22 \\ xy = -3 \end{cases}$
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 22t - 3 = 0$.
Решим его с помощью дискриминанта:
$D = (-22)^2 - 4(1)(-3) = 484 + 12 = 496 = 16 \cdot 31$.
Корни уравнения: $t = \frac{22 \pm \sqrt{496}}{2} = \frac{22 \pm 4\sqrt{31}}{2} = 11 \pm 2\sqrt{31}$.
Таким образом, получаем еще две пары решений: $(11 + 2\sqrt{31}, 11 - 2\sqrt{31})$ и $(11 - 2\sqrt{31}, 11 + 2\sqrt{31})$.

Ответ: $(3, 4), (4, 3), (11 + 2\sqrt{31}, 11 - 2\sqrt{31}), (11 - 2\sqrt{31}, 11 + 2\sqrt{31})$.

2)

Решим систему уравнений:
$\begin{cases} (x+1)(y+1) = 10 \\ (x+y)(xy+1) = 25 \end{cases}$

Раскроем скобки в каждом уравнении:
$\begin{cases} xy + x + y + 1 = 10 \\ (x+y)xy + (x+y) = 25 \end{cases}$

Как и в предыдущем задании, введем замену переменных. Пусть $u = x+y$ и $v = xy$. Система примет вид:
$\begin{cases} v + u + 1 = 10 \\ uv + u = 25 \end{cases}$

Из первого уравнения системы выразим $v$: $v = 9 - u$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$u(9 - u) + u = 25$
$9u - u^2 + u = 25$
$-u^2 + 10u - 25 = 0$
Умножим уравнение на -1:
$u^2 - 10u + 25 = 0$

Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом:
$(u-5)^2 = 0$
Отсюда находим единственное решение для $u$: $u = 5$.

Теперь найдем соответствующее значение $v$:
$v = 9 - u = 9 - 5 = 4$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы получили систему:
$\begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 4 \end{cases}$

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.
Корни этого уравнения легко находятся подбором или разложением на множители: $(t-1)(t-4)=0$, откуда $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.
Следовательно, решениями исходной системы являются пары чисел $(1, 4)$ и $(4, 1)$.

Ответ: $(1, 4), (4, 1)$.