Номер 13.16, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.16, страница 135.

Условие.

13.16. Решите систему уравнений:

1) $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ x + xy + y = 9; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} x^2 + y^2 - x - y = 18, \\ x^2 + y^2 - xy = 13. \end{cases}$$

Решение.

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ x + xy + y = 9; \end{cases} $$ Эта система является симметричной, так как уравнения не меняются при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Для решения таких систем удобно использовать замену переменных.
Пусть $a = x+y$ и $b = xy$.
Выразим уравнения системы через новые переменные $a$ и $b$.
Используем тождество $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = a^2 - 2b$.
Второе уравнение можно переписать как $(x+y) + xy = 9$, что в новых переменных дает $a + b = 9$.
Таким образом, исходная система эквивалентна следующей системе уравнений относительно $a$ и $b$: $$ \begin{cases} a^2 - 2b = 17, \\ a + b = 9. \end{cases} $$ Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $b$: $b = 9 - a$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $a^2 - 2(9-a) = 17$
$a^2 - 18 + 2a = 17$
$a^2 + 2a - 35 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $a$. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются числа $5$ и $-7$, так как $5 \cdot (-7) = -35$ и $5 + (-7) = -2$.
$a_1 = 5$, $a_2 = -7$.
Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 5$.
Найдем соответствующее значение $b$: $b = 9 - a = 9 - 5 = 4$.
Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 4. \end{cases} $$ Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.
Это уравнение легко раскладывается на множители: $(t-1)(t-4) = 0$.
Его корни $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.
Следовательно, решениями в этом случае являются пары $(1, 4)$ и $(4, 1)$.

Случай 2: $a = -7$.
Найдем соответствующее значение $b$: $b = 9 - a = 9 - (-7) = 16$.
Вернемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} x+y = -7, \\ xy = 16. \end{cases} $$ $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-7)t + 16 = 0$, то есть $t^2 + 7t + 16 = 0$.
Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 49 - 64 = -15$.
Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $(1, 4), (4, 1)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 - x - y = 18, \\ x^2 + y^2 - xy = 13. \end{cases} $$ Эта система также является симметричной. Сгруппируем члены в первом уравнении: $(x^2+y^2) - (x+y) = 18$.
Введем замены: $a = x+y$ и $b = xy$. Тогда $x^2 + y^2 = a^2 - 2b$.
Перепишем систему в новых переменных:
Первое уравнение: $(a^2 - 2b) - a = 18 \implies a^2 - a - 2b = 18$.
Второе уравнение: $(a^2 - 2b) - b = 13 \implies a^2 - 3b = 13$.
Получаем систему: $$ \begin{cases} a^2 - a - 2b = 18, \\ a^2 - 3b = 13. \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого: $(a^2 - a - 2b) - (a^2 - 3b) = 18 - 13$
$-a + b = 5$
$b = a + 5$
Теперь подставим это выражение для $b$ во второе уравнение системы $a^2 - 3b = 13$: $a^2 - 3(a+5) = 13$
$a^2 - 3a - 15 = 13$
$a^2 - 3a - 28 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $a$. По теореме Виета, корнями являются числа $7$ и $-4$, так как $7 \cdot (-4) = -28$ и $7 + (-4) = 3$.
$a_1 = 7$, $a_2 = -4$.
Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 7$.
Тогда $b = a + 5 = 7 + 5 = 12$.
Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x+y = 7, \\ xy = 12. \end{cases} $$ $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$.
Разложим на множители: $(t-3)(t-4) = 0$.
Корни: $t_1 = 3, t_2 = 4$.
Получаем две пары решений: $(3, 4)$ и $(4, 3)$.

Случай 2: $a = -4$.
Тогда $b = a + 5 = -4 + 5 = 1$.
Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x+y = -4, \\ xy = 1. \end{cases} $$ $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-4)t + 1 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
Корни: $t = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.
Получаем еще две пары решений: $(-2 - \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3})$ и $(-2 + \sqrt{3}, -2 - \sqrt{3})$.

Ответ: $(3, 4), (4, 3), (-2 - \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3}), (-2 + \sqrt{3}, -2 - \sqrt{3})$.