Номер 13.23, страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.23, страница 136.

Условие.

13.23. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x - y + \sqrt{\frac{x - y}{x + y}} = \frac{20}{x + y} \\ x^2 + y^2 = 34; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + y^2 - x - 2y - 5 = 0 \\ 2x^2 + 3y^2 - 2x - 6y - 13 = 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \sqrt{x + \frac{1}{y}} + \sqrt{y + \frac{1}{x}} = 2\sqrt{2} \\ (x^2 + 1)y + (y^2 + 1)x = 4xy. \end{cases} $

Решение.

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y + \sqrt{\frac{x - y}{x + y}} = \frac{20}{x + y} \\ x^2 + y^2 = 34 \end{cases} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия дроби и квадратного корня, должно выполняться условие $\frac{x-y}{x+y} \ge 0$ и $x+y \ne 0$. Это возможно в двух случаях:

1. $x-y \ge 0$ и $x+y > 0$.

2. $x-y \le 0$ и $x+y < 0$.

Рассмотрим первое уравнение системы. Умножим его на $x+y \ne 0$:

$(x - y)(x + y) + (x+y)\sqrt{\frac{x - y}{x + y}} = 20$

Рассмотрим выражение $(x+y)\sqrt{\frac{x - y}{x + y}}$.

Если $x+y>0$, то $x+y = \sqrt{(x+y)^2}$, и выражение равно $\sqrt{(x+y)^2 \frac{x-y}{x+y}} = \sqrt{(x-y)(x+y)} = \sqrt{x^2-y^2}$.

Если $x+y<0$, то $x+y = -\sqrt{(x+y)^2}$, и выражение равно $-\sqrt{(x+y)^2 \frac{x-y}{x+y}} = -\sqrt{(x-y)(x+y)} = -\sqrt{x^2-y^2}$.

Случай 1: $x-y \ge 0$ и $x+y > 0$.

Первое уравнение принимает вид:

$x^2 - y^2 + \sqrt{x^2-y^2} = 20$.

Пусть $t = \sqrt{x^2-y^2}$, где $t \ge 0$. Уравнение становится квадратным относительно $t$:

$t^2 + t - 20 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 4$ и $t_2 = -5$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t=4$.

Тогда $\sqrt{x^2-y^2} = 4$, откуда $x^2-y^2=16$.

Теперь решаем систему: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 16 \\ x^2 + y^2 = 34 \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 50 \implies x^2=25 \implies x = \pm 5$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = 18 \implies y^2=9 \implies y = \pm 3$.

Получаем четыре возможные пары: $(5, 3), (5, -3), (-5, 3), (-5, -3)$. Проверим их на соответствие условиям $x+y > 0$ и $x-y \ge 0$.

- $(5, 3)$: $x+y=8>0$, $x-y=2 \ge 0$. Подходит.

- $(5, -3)$: $x+y=2>0$, $x-y=8 \ge 0$. Подходит.

- $(-5, 3)$: $x+y=-2<0$. Не подходит.

- $(-5, -3)$: $x+y=-8<0$. Не подходит.

Случай 2: $x-y \le 0$ и $x+y < 0$.

Первое уравнение принимает вид:

$x^2 - y^2 - \sqrt{x^2-y^2} = 20$.

Пусть $t = \sqrt{x^2-y^2}$, где $t \ge 0$. Уравнение становится:

$t^2 - t - 20 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 5$ и $t_2 = -4$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t=5$.

Тогда $\sqrt{x^2-y^2} = 5$, откуда $x^2-y^2=25$.

Теперь решаем систему: $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 25 \\ x^2 + y^2 = 34 \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 59 \implies x^2=29.5 \implies x = \pm \sqrt{29.5} = \pm \frac{\sqrt{118}}{2}$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = 9 \implies y^2=4.5 \implies y = \pm \sqrt{4.5} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Проверим полученные пары на соответствие условиям $x+y < 0$ и $x-y \le 0$.

- $(-\frac{\sqrt{118}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2})$: $x+y = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{118}}{2} = \frac{\sqrt{18}-\sqrt{118}}{2} < 0$. $x-y = \frac{-\sqrt{118}-3\sqrt{2}}{2} < 0$. Подходит.

- $(-\frac{\sqrt{118}}{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2})$: $x+y = \frac{-\sqrt{118}-3\sqrt{2}}{2} < 0$. $x-y = \frac{-\sqrt{118}+3\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{18}-\sqrt{118}}{2} < 0$. Подходит.

Две другие пары с положительным $x$ не удовлетворяют условию $x+y < 0$.

Ответ: $(5, 3)$, $(5, -3)$, $(-\frac{\sqrt{118}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{118}}{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2})$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 - x - 2y - 5 = 0 \\ 2x^2 + 3y^2 - 2x - 6y - 13 = 0 \end{cases} $

Перегруппируем слагаемые в каждом уравнении: $ \begin{cases} (x^2 - x) + (y^2 - 2y) = 5 \\ 2(x^2 - x) + 3(y^2 - 2y) = 13 \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $u = x^2 - x$ и $v = y^2 - 2y$. Система примет вид линейной системы относительно $u$ и $v$: $ \begin{cases} u + v = 5 \\ 2u + 3v = 13 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $u = 5-v$ и подставим во второе:

$2(5-v) + 3v = 13$

$10 - 2v + 3v = 13$

$v = 3$

Тогда $u = 5 - 3 = 2$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $u = x^2 - x = 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$.

Решая квадратное уравнение, получаем $(x-2)(x+1)=0$, откуда $x_1 = 2, x_2 = -1$.

2. $v = y^2 - 2y = 3 \implies y^2 - 2y - 3 = 0$.

Решая квадратное уравнение, получаем $(y-3)(y+1)=0$, откуда $y_1 = 3, y_2 = -1$.

Так как уравнения для $x$ и $y$ независимы, решениями исходной системы будут все возможные комбинации найденных значений $x$ и $y$.

Ответ: $(2, 3)$, $(2, -1)$, $(-1, 3)$, $(-1, -1)$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{x + \frac{1}{y}} + \sqrt{y + \frac{1}{x}} = 2\sqrt{2} \\ (x^2 + 1)y + (y^2 + 1)x = 4xy \end{cases} $

Рассмотрим ОДЗ. Из-за наличия корней и дробей, $x, y \ne 0$, $x + \frac{1}{y} \ge 0$ и $y + \frac{1}{x} \ge 0$.

Это равносильно $\frac{xy+1}{y} \ge 0$ и $\frac{xy+1}{x} \ge 0$.

Это означает, что знаки $x$, $y$ и $xy+1$ должны быть одинаковыми (или $xy+1=0$). Если $x<0, y<0$, то $xy>0$, и $xy+1 > 1$, что противоречит требованию $xy+1 \le 0$. Следовательно, возможно только $x>0$ и $y>0$, при этом $xy+1>0$.

Рассмотрим второе уравнение. Так как $x>0, y>0$, мы можем разделить обе части на $xy$:

$\frac{(x^2+1)y}{xy} + \frac{(y^2+1)x}{xy} = 4$

$\frac{x^2+1}{x} + \frac{y^2+1}{y} = 4$

$(x + \frac{1}{x}) + (y + \frac{1}{y}) = 4$

Применим неравенство о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Для любого положительного числа $a$ справедливо $a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 2$. Равенство достигается только при $a=1$.

Поскольку $x>0$ и $y>0$:

$x + \frac{1}{x} \ge 2$

$y + \frac{1}{y} \ge 2$

Складывая эти два неравенства, получаем:

$(x + \frac{1}{x}) + (y + \frac{1}{y}) \ge 4$

Из второго уравнения системы мы знаем, что эта сумма в точности равна 4. Это возможно только в том случае, когда в обоих неравенствах достигается равенство, то есть:

$x + \frac{1}{x} = 2$ и $y + \frac{1}{y} = 2$.

Решением уравнения $x + \frac{1}{x} = 2$ (или $x^2-2x+1=0$) для $x>0$ является $x=1$.

Аналогично, решением уравнения $y + \frac{1}{y} = 2$ для $y>0$ является $y=1$.

Таким образом, единственная пара чисел, удовлетворяющая второму уравнению и ОДЗ, это $(1, 1)$.

Проверим эту пару, подставив её в первое уравнение системы:

$\sqrt{1 + \frac{1}{1}} + \sqrt{1 + \frac{1}{1}} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

$2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Уравнение выполняется. Следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $(1, 1)$.