Номер 13.25, страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.25, страница 136.

Условие.

13.25. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + xy + 6 = 0, \\ 24 - y^2 = (4x^2 - y^2)^2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2y^2 - 2x + y^2 = 0, \\ 2x^2 - 4x + 3 + y^3 = 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - xy^2 + 4 = 0, \\ x^2 + y^2 + 4 = 4x + 2y; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2 + 3y^2 = 2xy, \\ |xy - 2| = 6 - x^2. \end{cases} $

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} x^2 + xy + 6 = 0 \\ 24 - y^2 = (4x^2 - y^2)^2 \end{array} \right.$

Из первого уравнения выразим $xy$: $xy = -x^2 - 6$. Заметим, что $x \neq 0$, иначе $6 = 0$, что неверно. Тогда можно выразить $y$: $y = \frac{-x^2 - 6}{x} = -x - \frac{6}{x}$.

Возведем в квадрат выражение для $y$:

$y^2 = \left(-x - \frac{6}{x}\right)^2 = \left(x + \frac{6}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{6}{x} + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = x^2 + 12 + \frac{36}{x^2} = \frac{x^4 + 12x^2 + 36}{x^2}$.

Подставим это выражение для $y^2$ во второе уравнение системы. Сначала преобразуем левую часть второго уравнения:

$24 - y^2 = 24 - \frac{x^4 + 12x^2 + 36}{x^2} = \frac{24x^2 - (x^4 + 12x^2 + 36)}{x^2} = \frac{-x^4 + 12x^2 - 36}{x^2} = -\frac{x^4 - 12x^2 + 36}{x^2} = -\frac{(x^2 - 6)^2}{x^2}$.

Теперь преобразуем выражение в скобках в правой части второго уравнения:

$4x^2 - y^2 = 4x^2 - \frac{x^4 + 12x^2 + 36}{x^2} = \frac{4x^4 - (x^4 + 12x^2 + 36)}{x^2} = \frac{3x^4 - 12x^2 - 36}{x^2}$.

Второе уравнение принимает вид:

$-\frac{(x^2 - 6)^2}{x^2} = \left(\frac{3x^4 - 12x^2 - 36}{x^2}\right)^2$.

Левая часть этого уравнения $-\frac{(x^2 - 6)^2}{x^2} \le 0$, так как $(x^2-6)^2 \ge 0$ и $x^2 > 0$.
Правая часть уравнения $\left(\frac{3x^4 - 12x^2 - 36}{x^2}\right)^2 \ge 0$, так как это квадрат выражения.

Равенство возможно только в том случае, когда обе части равны нулю.

$\left\{ \begin{array}{l} -\frac{(x^2 - 6)^2}{x^2} = 0 \\ \left(\frac{3x^4 - 12x^2 - 36}{x^2}\right)^2 = 0 \end{array} \right.$

Из первого уравнения следует $(x^2 - 6)^2 = 0$, то есть $x^2 = 6$.
Из второго уравнения следует $3x^4 - 12x^2 - 36 = 0$. Разделим на 3: $x^4 - 4x^2 - 12 = 0$.

Проверим, удовлетворяет ли $x^2 = 6$ второму уравнению:
$(6)^2 - 4(6) - 12 = 36 - 24 - 12 = 0$.
Это верное равенство. Значит, $x^2 = 6$ является решением.

Из $x^2 = 6$ находим два значения $x$: $x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.
Для каждого $x$ найдем соответствующий $y$ по формуле $y = -x - \frac{6}{x}$.

1) Если $x = \sqrt{6}$, то $y = -\sqrt{6} - \frac{6}{\sqrt{6}} = -\sqrt{6} - \sqrt{6} = -2\sqrt{6}$.
Получили решение $(\sqrt{6}, -2\sqrt{6})$.

2) Если $x = -\sqrt{6}$, то $y = -(-\sqrt{6}) - \frac{6}{-\sqrt{6}} = \sqrt{6} + \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.
Получили решение $(-\sqrt{6}, 2\sqrt{6})$.

Ответ: $(\sqrt{6}, -2\sqrt{6}), (-\sqrt{6}, 2\sqrt{6})$.

2)

Дана система уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} x^2y^2 - 2x + y^2 = 0 \\ 2x^2 - 4x + 3 + y^3 = 0 \end{array} \right.$

Рассмотрим первое уравнение. Сгруппируем члены с $y^2$:
$y^2(x^2 + 1) = 2x$.
Поскольку $x^2+1 > 0$ для любого $x$, мы можем выразить $y^2$:

$y^2 = \frac{2x}{x^2+1}$.

Так как $y^2 \ge 0$ и $x^2+1 > 0$, то должно выполняться условие $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. Исследуем множество значений функции $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$. Можно показать, что $x^2+1 \ge 2x$ (так как $(x-1)^2 \ge 0$), поэтому $\frac{2x}{x^2+1} \le 1$.
Таким образом, $0 \le y^2 \le 1$, что означает $-1 \le y \le 1$.

Теперь рассмотрим второе уравнение. Выразим из него $y^3$:

$y^3 = -2x^2 + 4x - 3$.

Рассмотрим правую часть как квадратичную функцию от $x$: $g(x) = -2x^2 + 4x - 3$. Это парабола с ветвями вниз. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{4}{2(-2)} = 1$.
Максимальное значение функции достигается в вершине: $g(1) = -2(1)^2 + 4(1) - 3 = -2 + 4 - 3 = -1$. Таким образом, $g(x) \le -1$ для всех $x$.
Следовательно, $y^3 \le -1$, что означает $y \le -1$.

Мы получили два условия для $y$:
1) $-1 \le y \le 1$
2) $y \le -1$
Единственное значение $y$, удовлетворяющее обоим условиям, это $y = -1$.

Подставим $y = -1$ в выражение для $y^2$ из первого уравнения:
$(-1)^2 = \frac{2x}{x^2+1} \implies 1 = \frac{2x}{x^2+1} \implies x^2+1 = 2x \implies x^2-2x+1 = 0 \implies (x-1)^2=0 \implies x=1$.

Проверим найденную пару $(1, -1)$ во втором уравнении системы:
$2(1)^2 - 4(1) + 3 + (-1)^3 = 2 - 4 + 3 - 1 = 0$.
Равенство верное. Таким образом, пара $(1, -1)$ является единственным решением системы.

Ответ: $(1, -1)$.

3)

Дана система уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} x^2 - xy^2 + 4 = 0 \\ x^2 + y^2 + 4 = 4x + 2y \end{array} \right.$

Преобразуем второе уравнение, перенеся все члены в левую часть и выделив полные квадраты:
$x^2 - 4x + y^2 - 2y + 4 = 0$
$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 2y + 1) - 1 + 4 = 0$
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1$.

Это уравнение окружности с центром в точке $(2, 1)$ и радиусом 1. Из этого уравнения следуют ограничения на переменные:
$(x-2)^2 \le 1 \implies -1 \le x-2 \le 1 \implies 1 \le x \le 3$.
$(y-1)^2 \le 1 \implies -1 \le y-1 \le 1 \implies 0 \le y \le 2$.

Теперь рассмотрим первое уравнение: $x^2 - xy^2 + 4 = 0$.
$x^2 + 4 = xy^2$.
Так как $1 \le x \le 3$, то $x > 0$. Значит, мы можем разделить на $x$:
$y^2 = \frac{x^2+4}{x} = x + \frac{4}{x}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x + \frac{4}{x}$ на отрезке $[1, 3]$. Найдем ее наименьшее значение на этом отрезке. Производная функции: $f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2-4}{x^2}$.
На отрезке $[1, 3]$ производная равна нулю при $x=2$.
При $x \in [1, 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x \in (2, 3]$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
Следовательно, в точке $x=2$ функция достигает своего минимума на отрезке $[1, 3]$.
Минимальное значение $f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4$. Таким образом, $y^2 = f(x) \ge 4$.

Итак, мы имеем два условия на $y$:
1) $0 \le y \le 2$ (из уравнения окружности)
2) $y^2 \ge 4$, что означает $y \ge 2$ или $y \le -2$.

Единственное значение $y$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $y=2$.

Подставим $y=2$ в уравнение $y^2 = x + \frac{4}{x}$:
$2^2 = x + \frac{4}{x} \implies 4 = x + \frac{4}{x}$.
Умножим на $x$ (зная, что $x \neq 0$):
$4x = x^2 + 4 \implies x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x-2)^2 = 0 \implies x=2$.

Мы получили единственное возможное решение $(2, 2)$. Проверим его, подставив в оба исходных уравнения.
1) $2^2 - 2 \cdot 2^2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$. Верно.
2) $2^2 + 2^2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$. И $4(2) + 2(2) = 8 + 4 = 12$. Верно.

Ответ: $(2, 2)$.

4)

Дана система уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} 2 + 3y^2 = 2xy \\ |xy - 2| = 6 - x^2 \end{array} \right.$

Рассмотрим второе уравнение. Левая часть $|xy - 2|$ является модулем, поэтому она всегда неотрицательна: $|xy - 2| \ge 0$.
Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:
$6 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 6$.

Теперь рассмотрим первое уравнение. Перепишем его как квадратное уравнение относительно $y$:

$3y^2 - 2xy + 2 = 0$.

Для того чтобы это уравнение имело действительные решения для $y$, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.
$D = (-2x)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 4x^2 - 24$.
Условие $D \ge 0$ дает нам:
$4x^2 - 24 \ge 0 \implies 4x^2 \ge 24 \implies x^2 \ge 6$.

Мы получили два условия для $x^2$:
1) $x^2 \le 6$
2) $x^2 \ge 6$
Единственная возможность выполнить оба условия одновременно — это $x^2 = 6$.

Если $x^2 = 6$, то дискриминант $D = 4(6) - 24 = 0$. В этом случае квадратное уравнение для $y$ имеет единственное решение:
$y = -\frac{-2x}{2 \cdot 3} = \frac{2x}{6} = \frac{x}{3}$.

Теперь найдем значения $x$ из уравнения $x^2=6$:
$x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.

Для каждого значения $x$ найдем соответствующее значение $y$:
1) Если $x = \sqrt{6}$, то $y = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Получили пару $(\sqrt{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$.

2) Если $x = -\sqrt{6}$, то $y = \frac{-\sqrt{6}}{3}$.
Получили пару $(-\sqrt{6}, -\frac{\sqrt{6}}{3})$.

Проверим найденные решения во втором уравнении. Для обоих решений $x^2=6$.
Также для обоих решений $xy = x \cdot \frac{x}{3} = \frac{x^2}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
Подставляем в $|xy - 2| = 6 - x^2$:
$|2 - 2| = 6 - 6 \implies |0| = 0 \implies 0=0$.
Равенство верное. Оба решения подходят.

Ответ: $(\sqrt{6}, \frac{\sqrt{6}}{3}), (-\sqrt{6}, -\frac{\sqrt{6}}{3})$.