Номер 13.19, страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.19, страница 136.

Условие.

13.19. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2y + y^2x = 20, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{4}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 12, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^3 + x^3y^3 + y^3 = 12, \\ x + xy + y = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^3 + y^3 = 19, \\ (xy + 8)(x + y) = 2. \end{cases}$

Решение.

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2y + y^2x = 20, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{4} \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Преобразуем оба уравнения. В первом уравнении вынесем общий множитель $xy$ за скобки. Во втором уравнении приведем дроби к общему знаменателю:

$ \begin{cases} xy(x + y) = 20, \\ \frac{x+y}{xy} = \frac{5}{4} \end{cases} $

Введем замену переменных. Пусть $u = x+y$ и $v = xy$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} vu = 20, \\ \frac{u}{v} = \frac{5}{4} \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $u$: $u = \frac{5}{4}v$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$v \cdot \left(\frac{5}{4}v\right) = 20$

$\frac{5}{4}v^2 = 20$

$v^2 = 20 \cdot \frac{4}{5}$

$v^2 = 16$

Отсюда получаем два возможных значения для $v$: $v_1 = 4$ и $v_2 = -4$.

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $v = 4$.

Тогда $u = \frac{5}{4}v = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 4 \end{cases} $

По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.

$(t-1)(t-4) = 0$.

Корни: $t_1 = 1, t_2 = 4$.

Следовательно, решениями являются пары $(1, 4)$ и $(4, 1)$.

Случай 2: $v = -4$.

Тогда $u = \frac{5}{4}v = \frac{5}{4} \cdot (-4) = -5$.

Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} x+y = -5, \\ xy = -4 \end{cases} $

По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-5)t - 4 = 0$, то есть $t^2 + 5t - 4 = 0$.

Найдем корни по формуле: $D = 5^2 - 4(1)(-4) = 25 + 16 = 41$.

$t = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$.

Корни: $t_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}, t_2 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}$.

Следовательно, решениями являются пары $\left(\frac{-5 + \sqrt{41}}{2}, \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}\right)$ и $\left(\frac{-5 - \sqrt{41}}{2}, \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}\right)$.

Ответ: $(1, 4), (4, 1), \left(\frac{-5 + \sqrt{41}}{2}, \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}\right), \left(\frac{-5 - \sqrt{41}}{2}, \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}\right)$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 12, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.

Преобразуем оба уравнения, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \begin{cases} \frac{x^3 + y^3}{xy} = 12, \\ \frac{x+y}{xy} = \frac{1}{3} \end{cases} $

Введем замену переменных: $u = x+y$ и $v = xy$. Используем тождество $x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = u^3 - 3uv$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} \frac{u^3 - 3uv}{v} = 12, \\ \frac{u}{v} = \frac{1}{3} \end{cases} $

Из второго уравнения получаем $v = 3u$. Подставим это в первое уравнение:

$\frac{u^3 - 3u(3u)}{3u} = 12$

$\frac{u^3 - 9u^2}{3u} = 12$

Поскольку $u = x+y$ и $v = 3u = xy \neq 0$, то и $u \neq 0$. Можем сократить на $u$:

$\frac{u^2 - 9u}{3} = 12$

$u^2 - 9u = 36$

$u^2 - 9u - 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $u$. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4(1)(-36) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.

$u_1 = \frac{9+15}{2} = 12$

$u_2 = \frac{9-15}{2} = -3$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $u = 12$.

Тогда $v = 3u = 3 \cdot 12 = 36$.

Возвращаемся к исходным переменным: $x+y = 12, xy = 36$.

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 12t + 36 = 0$, которое можно записать как $(t-6)^2=0$.

Уравнение имеет один корень $t = 6$. Следовательно, $x=6, y=6$.

Случай 2: $u = -3$.

Тогда $v = 3u = 3 \cdot (-3) = -9$.

Возвращаемся к исходным переменным: $x+y = -3, xy = -9$.

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-3)t - 9 = 0$, то есть $t^2 + 3t - 9 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4(1)(-9) = 9 + 36 = 45$.

Корни: $t = \frac{-3 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2}$.

Следовательно, решениями являются пары $\left(\frac{-3 + 3\sqrt{5}}{2}, \frac{-3 - 3\sqrt{5}}{2}\right)$ и $\left(\frac{-3 - 3\sqrt{5}}{2}, \frac{-3 + 3\sqrt{5}}{2}\right)$.

Ответ: $(6, 6), \left(\frac{-3 + 3\sqrt{5}}{2}, \frac{-3 - 3\sqrt{5}}{2}\right), \left(\frac{-3 - 3\sqrt{5}}{2}, \frac{-3 + 3\sqrt{5}}{2}\right)$.

3)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 + x^3y^3 + y^3 = 12, \\ x + xy + y = 0 \end{cases} $

Перегруппируем слагаемые в уравнениях:

$ \begin{cases} (x^3 + y^3) + (xy)^3 = 12, \\ (x+y) + xy = 0 \end{cases} $

Введем замену переменных: $u = x+y$ и $v = xy$. Используем тождество $x^3+y^3 = u^3 - 3uv$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} (u^3 - 3uv) + v^3 = 12, \\ u + v = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения получаем $v = -u$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$u^3 - 3u(-u) + (-u)^3 = 12$

$u^3 + 3u^2 - u^3 = 12$

$3u^2 = 12$

$u^2 = 4$

Отсюда $u_1 = 2$ и $u_2 = -2$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $u = 2$.

Тогда $v = -u = -2$.

Возвращаемся к исходным переменным: $x+y=2, xy=-2$.

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - 2t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$.

Корни: $t = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Решениями являются пары $(1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3})$ и $(1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$.

Случай 2: $u = -2$.

Тогда $v = -u = 2$.

Возвращаемся к исходным переменным: $x+y=-2, xy=2$.

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-2)t + 2 = 0$, то есть $t^2+2t+2 = 0$.

Дискриминант $D = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$.

В этом случае действительных корней нет.

Ответ: $(1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}), (1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$.

4)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 19, \\ (xy + 8)(x + y) = 2 \end{cases} $

Введем замену переменных: $u = x+y$ и $v = xy$. Используем тождество $x^3+y^3 = u^3 - 3uv$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} u^3 - 3uv = 19, \\ (v + 8)u = 2 \end{cases} $

Из второго уравнения раскроем скобки: $uv + 8u = 2$. Выразим отсюда $uv$: $uv = 2 - 8u$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$u^3 - 3(2 - 8u) = 19$

$u^3 - 6 + 24u = 19$

$u^3 + 24u - 25 = 0$

Найдем корни этого кубического уравнения. Попробуем найти целый корень среди делителей свободного члена (-25): $\pm 1, \pm 5, \pm 25$.

Проверим $u=1$: $1^3 + 24(1) - 25 = 1 + 24 - 25 = 0$.

Значит, $u=1$ является корнем. Разделим многочлен $u^3 + 24u - 25$ на $(u-1)$:

$(u-1)(u^2+u+25) = 0$

Рассмотрим квадратное уравнение $u^2+u+25=0$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(25) = 1 - 100 = -99 < 0$. Действительных корней нет.

Таким образом, единственное действительное решение для $u$ это $u=1$.

Найдем $v$: $v = \frac{2-8u}{u} = \frac{2-8(1)}{1} = -6$.

Возвращаемся к исходным переменным: $x+y=1, xy=-6$.

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - t - 6 = 0$.

Это уравнение можно разложить на множители: $(t-3)(t+2)=0$.

Корни: $t_1 = 3, t_2 = -2$.

Следовательно, решениями являются пары $(3, -2)$ и $(-2, 3)$.

Ответ: $(3, -2), (-2, 3)$.