Номер 13.20, страница 136 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.20, страница 136.

Условие.

13.20. Решите систему уравнений:

1) $$\begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18, \\ x + y = 12; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} x^3 + y^3 + 3x^2y^2 = 5, \\ xy - x - y = -1. \end{cases}$$

Решение.

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18, \\ x + y = 12. \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю $xy$: $$ \frac{x^3 + y^3}{xy} = 18 $$ Отсюда получаем: $$ x^3 + y^3 = 18xy $$ Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ и тем, что $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$. Тогда: $$ x^3 + y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 2xy - xy) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) $$ Подставим это выражение в преобразованное первое уравнение: $$ (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = 18xy $$

Для решения системы удобно использовать метод замены переменных, основанный на симметрических многочленах. Пусть $u = x+y$ и $v = xy$. Из второго уравнения системы нам известно, что $u = 12$. Подставим $u$ и $v$ в первое уравнение: $$ u(u^2 - 3v) = 18v $$ Теперь подставим известное значение $u=12$: $$ 12(12^2 - 3v) = 18v $$ $$ 12(144 - 3v) = 18v $$ Разделим обе части уравнения на 6 для упрощения: $$ 2(144 - 3v) = 3v $$ $$ 288 - 6v = 3v $$ $$ 288 = 9v $$ $$ v = \frac{288}{9} = 32 $$

Теперь мы имеем систему для $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x+y = 12, \\ xy = 32. \end{cases} $$ Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (x+y)z + xy = 0$: $$ z^2 - 12z + 32 = 0 $$ Найдем корни этого уравнения, например, с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16 = 4^2 $$ Корни уравнения: $$ z_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$ $$ z_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8 $$ Следовательно, переменные $x$ и $y$ принимают значения 4 и 8. Это дает нам две пары решений.

Ответ: $(4, 8), (8, 4)$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^3 + y^3 + 3x^2y^2 = 5, \\ xy - x - y = -1. \end{cases} $$

Рассмотрим второе уравнение системы. Преобразуем его, перенеся все члены в левую часть и сгруппировав их: $$ xy - x - y + 1 = 0 $$ $$ x(y-1) - 1(y-1) = 0 $$ $$ (x-1)(y-1) = 0 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда следует, что либо $x-1=0$, либо $y-1=0$.

Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: $x-1=0$, то есть $x=1$.
Подставим это значение в первое уравнение исходной системы: $$ 1^3 + y^3 + 3(1^2)y^2 = 5 $$ $$ 1 + y^3 + 3y^2 = 5 $$ $$ y^3 + 3y^2 - 4 = 0 $$ Мы получили кубическое уравнение относительно $y$. Найдем его корни. Целые корни, если они есть, являются делителями свободного члена (-4), то есть могут быть $\pm1, \pm2, \pm4$. Проверкой убеждаемся, что $y=1$ является корнем, так как $1^3 + 3(1^2) - 4 = 1+3-4=0$. Разделив многочлен $y^3 + 3y^2 - 4$ на двучлен $(y-1)$, получим: $$ (y-1)(y^2 + 4y + 4) = 0 $$ Вторая скобка является полным квадратом: $$ (y-1)(y+2)^2 = 0 $$ Отсюда находим корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$. Таким образом, в этом случае мы получили два решения системы: $(1, 1)$ и $(1, -2)$.

Случай 2: $y-1=0$, то есть $y=1$.
Подставим это значение в первое уравнение системы: $$ x^3 + 1^3 + 3x^2(1^2) = 5 $$ $$ x^3 + 1 + 3x^2 = 5 $$ $$ x^3 + 3x^2 - 4 = 0 $$ Это уравнение полностью аналогично уравнению для $y$ из первого случая. Его корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Таким образом, в этом случае мы получаем решения: $(1, 1)$ и $(-2, 1)$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, и исключая дубликаты (пара $(1, 1)$ встречается в обоих случаях), получаем полный набор решений системы.

Ответ: $(1, 1), (1, -2), (-2, 1)$.