Номер 13.27, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.27, страница 137.

Условие.

13.27. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} y^2 - x^2 + 4x - 5 = 0, \\ \sqrt{1 - y^2} + x^2 = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3 - (y + 1)^2 = \sqrt{x - y}, \\ x + 8y = \sqrt{x - y} - 9. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}y^2 - x^2 + 4x - 5 = 0, \\\sqrt{1-y^2} + x^2 = 4\end{cases}$$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из второго уравнения, выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$1-y^2 \ge 0$

$y^2 \le 1$

$-1 \le y \le 1$

Преобразуем первое уравнение системы, выделив полный квадрат относительно переменной $x$:

$y^2 - (x^2 - 4x + 5) = 0$

$y^2 - (x^2 - 4x + 4 + 1) = 0$

$y^2 - ((x-2)^2 + 1) = 0$

$y^2 = (x-2)^2 + 1$

Теперь воспользуемся условием из ОДЗ, что $y^2 \le 1$. Подставим в это неравенство полученное выражение для $y^2$:

$(x-2)^2 + 1 \le 1$

$(x-2)^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, единственное возможное решение этого неравенства — это равенство нулю:

$(x-2)^2 = 0$

$x-2 = 0$

$x = 2$

Теперь, зная $x$, найдем $y$. Подставим значение $(x-2)^2 = 0$ в выражение для $y^2$:

$y^2 = 0 + 1 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($-1 \le y \le 1$).

Проверим найденные пары $(x, y)$ подстановкой во второе уравнение исходной системы $\sqrt{1-y^2} + x^2 = 4$.

Для пары $(2, 1)$:

$\sqrt{1-1^2} + 2^2 = \sqrt{0} + 4 = 0 + 4 = 4$. Верно.

Для пары $(2, -1)$:

$\sqrt{1-(-1)^2} + 2^2 = \sqrt{1-1} + 4 = \sqrt{0} + 4 = 0 + 4 = 4$. Верно.

Обе пары являются решениями системы.

Ответ: $(2, 1), (2, -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}3 - (y+1)^2 = \sqrt{x-y}, \\x + 8y = \sqrt{x-y} - 9\end{cases}$$

ОДЗ: $x-y \ge 0$. Также из первого уравнения следует, что $3 - (y+1)^2 \ge 0$, так как значение корня неотрицательно. Это дает $(y+1)^2 \le 3$, или $-1-\sqrt{3} \le y \le -1+\sqrt{3}$.

Правые части обоих уравнений равны $\sqrt{x-y}$. Приравняем их левые части (предварительно выразив $\sqrt{x-y}$ из второго уравнения):

$\sqrt{x-y} = x + 8y + 9$

Тогда:

$3 - (y+1)^2 = x + 8y + 9$

$3 - (y^2 + 2y + 1) = x + 8y + 9$

$2 - y^2 - 2y = x + 8y + 9$

Выразим $x$ через $y$:

$x = -y^2 - 10y - 7$

Сделаем замену $u = \sqrt{x-y}$, где $u \ge 0$. Тогда $u^2 = x-y$.

Система может быть переписана с использованием переменной $u$:

$$\begin{cases}3 - (y+1)^2 = u, \\x + 8y + 9 = u\end{cases}$$

Используем также $u^2 = x-y$. Вычтем это уравнение из второго уравнения системы $x + 8y + 9 = u$:

$(x + 8y + 9) - (x-y) = u - u^2$

$9y + 9 = u - u^2$

$9(y+1) = u(1-u)$

$y+1 = \frac{u-u^2}{9}$

Теперь подставим это выражение для $(y+1)$ в первое уравнение системы $3 - (y+1)^2 = u$:

$3 - \left(\frac{u-u^2}{9}\right)^2 = u$

$3 - u = \frac{(u-u^2)^2}{81}$

$81(3-u) = u^2(1-u)^2$

$243 - 81u = u^2(1 - 2u + u^2)$

$243 - 81u = u^4 - 2u^3 + u^2$

Получаем полиномиальное уравнение четвертой степени относительно $u$:

$u^4 - 2u^3 + u^2 + 81u - 243 = 0$

Из уравнения $u = 3 - (y+1)^2$ и условия $(y+1)^2 \ge 0$ следует, что $u \le 3$. Так как $u = \sqrt{x-y} \ge 0$, то мы ищем корень $u$ в интервале $[0, 3]$.

Пусть $P(u) = u^4 - 2u^3 + u^2 + 81u - 243$. Проверим значения на концах отрезка:

$P(0) = -243$

$P(3) = 3^4 - 2 \cdot 3^3 + 3^2 + 81 \cdot 3 - 243 = 81 - 54 + 9 + 243 - 243 = 36$

Поскольку $P(0) < 0$ и $P(3) > 0$, и $P(u)$ является непрерывной функцией, на интервале $(0, 3)$ существует по крайней мере один корень.

Найдем производную: $P'(u) = 4u^3 - 6u^2 + 2u + 81 = 2u(2u^2 - 3u + 1) + 81 = 2u(2u-1)(u-1) + 81$.

Для $u \in [0, 3]$, наименьшее значение слагаемого $2u(2u-1)(u-1)$ достигается в этом интервале и оно невелико по модулю, поэтому $P'(u)$ очевидно положительна на $[0, 3]$. Следовательно, функция $P(u)$ монотонно возрастает на этом отрезке, и корень $u_0$ единственный.

Этот корень не является рациональным числом. Решение системы выражается через этот корень $u_0$.

$y_0 = \frac{u_0 - u_0^2}{9} - 1 = \frac{u_0 - u_0^2 - 9}{9}$

$x_0 = u_0^2 + y_0 = u_0^2 + \frac{u_0 - u_0^2 - 9}{9}$

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: Система имеет единственное решение $(x_0, y_0)$, где $x_0 = u_0^2 + \frac{u_0 - u_0^2 - 9}{9}$, $y_0 = \frac{u_0 - u_0^2 - 9}{9}$, а $u_0$ — единственный положительный корень уравнения $u^4 - 2u^3 + u^2 + 81u - 243 = 0$.