Номер 13.34, страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 13. Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными - номер 13.34, страница 137.

Условие.

13.34. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(\sqrt{x-a})(3x^2+x-2)=0$ имеет единственное решение?

Решение.

Исходное уравнение $(\sqrt{x-a})(3x^2+x-2)=0$ равносильно совокупности двух уравнений при условии, что подкоренное выражение неотрицательно.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется неравенством $x-a \geq 0$, откуда следует $x \geq a$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Это приводит к совокупности:

$\left[ \begin{aligned} \sqrt{x-a} = 0 \\ 3x^2 + x - 2 = 0 \end{aligned}\right.$

Решения этой совокупности должны удовлетворять ОДЗ $x \geq a$.

1. Решим первое уравнение совокупности.

$\sqrt{x-a} = 0$

Возведем обе части в квадрат:

$x - a = 0 \implies x_1 = a$.

Этот корень всегда удовлетворяет условию ОДЗ ($a \geq a$), поэтому $x=a$ является решением исходного уравнения при любом значении параметра $a$.

2. Решим второе уравнение совокупности.

$3x^2 + x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Найдем корни уравнения:

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = -1$.

$x_3 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Эти значения, $x_2 = -1$ и $x_3 = \frac{2}{3}$, являются корнями исходного уравнения только в том случае, если они принадлежат его области допустимых значений, то есть удовлетворяют неравенству $x \geq a$.

3. Анализ количества решений.

Мы получили три потенциальных корня: $a$, $-1$ и $\frac{2}{3}$. Уравнение будет иметь единственное решение, если после проверки по ОДЗ останется только один корень.

Корень $x_1=a$ есть всегда.

Корень $x_2=-1$ является решением, если $-1 \geq a$.

Корень $x_3=\frac{2}{3}$ является решением, если $\frac{2}{3} \geq a$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a > \frac{2}{3}$

В этом случае неравенства $-1 \geq a$ и $\frac{2}{3} \geq a$ не выполняются. Следовательно, корни $x_2=-1$ и $x_3=\frac{2}{3}$ не удовлетворяют ОДЗ. Единственным решением остается $x_1=a$. Таким образом, при $a > \frac{2}{3}$ уравнение имеет единственное решение.

Случай 2: $a = \frac{2}{3}$

ОДЗ: $x \geq \frac{2}{3}$.

Корень $x_1 = a = \frac{2}{3}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -1$. Не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 < \frac{2}{3}$.

Корень $x_3 = \frac{2}{3}$. Удовлетворяет ОДЗ.

Корни $x_1$ и $x_3$ совпали. Таким образом, у нас есть только одно решение $x = \frac{2}{3}$. Этот случай нам подходит.

Случай 3: $-1 < a < \frac{2}{3}$

ОДЗ: $x \geq a$.

Корень $x_1 = a$ является решением.

Корень $x_2 = -1$ не является решением, так как условие $-1 \geq a$ не выполнено ($a > -1$).

Корень $x_3 = \frac{2}{3}$ является решением, так как условие $\frac{2}{3} \geq a$ выполнено.

В этом интервале $a \neq \frac{2}{3}$, поэтому корни $x_1=a$ и $x_3=\frac{2}{3}$ — два различных решения. Следовательно, этот случай не подходит.

Случай 4: $a \leq -1$

ОДЗ: $x \geq a$.

Корень $x_1 = a$ является решением.

Корень $x_2 = -1$ является решением, так как $-1 \geq a$.

Корень $x_3 = \frac{2}{3}$ является решением, так как $\frac{2}{3} > -1 \geq a$.

Поскольку $-1 \neq \frac{2}{3}$, у нас есть как минимум два различных решения. Если $a < -1$, то будет три различных решения ($a$, $-1$, $\frac{2}{3}$). Если $a=-1$, будет два различных решения ($-1$ и $\frac{2}{3}$). В любом случае, решений больше одного. Этот случай не подходит.

Вывод

Единственное решение уравнение имеет в случаях 1 и 2, то есть при $a > \frac{2}{3}$ или $a = \frac{2}{3}$. Объединяя эти условия, получаем $a \geq \frac{2}{3}$.

Ответ: $a \in [\frac{2}{3}; +\infty)$.