Номер 14.4, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.4, страница 141.

Условие.

14.4. Катер проходит 48 км против течения реки и 30 км по течению реки за 3 ч, а 15 км по течению — на 1 ч быстрее, чем 36 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Решение.

Пусть собственная скорость катера равна $v_к$ км/ч, а скорость течения реки равна $v_т$ км/ч. Тогда скорость катера по течению реки составляет $(v_к + v_т)$ км/ч, а скорость против течения — $(v_к - v_т)$ км/ч.

Из первого условия, что катер проходит 48 км против течения и 30 км по течению за 3 часа, получаем первое уравнение:

$\frac{48}{v_к - v_т} + \frac{30}{v_к + v_т} = 3$

Из второго условия, что 15 км по течению катер проходит на 1 час быстрее, чем 36 км против течения, получаем второе уравнение:

$\frac{36}{v_к - v_т} - \frac{15}{v_к + v_т} = 1$

Для решения системы уравнений введем замену. Пусть $x = v_к + v_т$ (скорость по течению) и $y = v_к - v_т$ (скорость против течения). Система примет вид:

$\begin{cases} \frac{48}{y} + \frac{30}{x} = 3 \\ \frac{36}{y} - \frac{15}{x} = 1 \end{cases}$

Умножим второе уравнение на 2, чтобы применить метод сложения:

$2 \cdot (\frac{36}{y} - \frac{15}{x}) = 2 \cdot 1 \implies \frac{72}{y} - \frac{30}{x} = 2$

Теперь сложим первое уравнение с полученным преобразованным вторым:

$(\frac{48}{y} + \frac{30}{x}) + (\frac{72}{y} - \frac{30}{x}) = 3 + 2$

$\frac{120}{y} = 5$

Отсюда находим $y$: $y = \frac{120}{5} = 24$ км/ч.

Подставим значение $y = 24$ во второе уравнение системы $\frac{36}{y} - \frac{15}{x} = 1$:

$\frac{36}{24} - \frac{15}{x} = 1$

$1.5 - \frac{15}{x} = 1$

$\frac{15}{x} = 1.5 - 1$

$\frac{15}{x} = 0.5$

Отсюда находим $x$: $x = \frac{15}{0.5} = 30$ км/ч.

Теперь, зная скорости по течению ($x=30$ км/ч) и против течения ($y=24$ км/ч), вернемся к исходным переменным, чтобы найти собственную скорость катера и скорость течения:

$\begin{cases} v_к + v_т = 30 \\ v_к - v_т = 24 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(v_к + v_т) + (v_к - v_т) = 30 + 24$

$2v_к = 54 \implies v_к = 27$ км/ч.

Подставим найденную скорость катера в первое уравнение:

$27 + v_т = 30 \implies v_т = 3$ км/ч.

Ответ: собственная скорость катера 27 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч.