Номер 14.11, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.11, страница 142.

Условие.

14.11. В двух сплавах массы меди и цинка относятся как $5 : 2$ и $3 : 4$. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?

Решение.

Пусть $x$ кг — масса первого сплава, а $y$ кг — масса второго сплава, которые необходимо взять для получения нового сплава.

По условию, общая масса нового сплава составляет 28 кг, следовательно, мы можем составить первое уравнение:$x + y = 28$

Определим содержание меди в каждом из сплавов.В первом сплаве массы меди и цинка относятся как $5:2$. Это означает, что сплав состоит из $5+2=7$ частей. Доля меди в первом сплаве составляет $\frac{5}{7}$. Во втором сплаве массы меди и цинка относятся как $3:4$. Это означает, что сплав состоит из $3+4=7$ частей. Доля меди во втором сплаве составляет $\frac{3}{7}$.

Масса меди в $x$ кг первого сплава равна $\frac{5}{7}x$ кг.Масса меди в $y$ кг второго сплава равна $\frac{3}{7}y$ кг.

В новом сплаве массой 28 кг содержание меди и цинка равное. Это значит, что масса меди в нем составляет половину от общей массы, то есть $28 \div 2 = 14$ кг.

Сложив массу меди из взятых частей первого и второго сплавов, мы должны получить массу меди в новом сплаве. Составим второе уравнение:$\frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y = 14$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:$\begin{cases} x + y = 28 \\ \frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y = 14 \end{cases}$

Для удобства решения умножим второе уравнение на 7:$5x + 3y = 98$

Из первого уравнения выразим $y$:$y = 28 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:$5x + 3(28 - x) = 98$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:$5x + 84 - 3x = 98$$2x = 98 - 84$$2x = 14$$x = 7$

Мы нашли массу первого сплава. Теперь найдем массу второго сплава, подставив значение $x$ в выражение для $y$:$y = 28 - 7 = 21$

Таким образом, для получения нового сплава нужно взять 7 кг первого сплава и 21 кг второго сплава.

Ответ: нужно взять 7 кг первого сплава и 21 кг второго сплава.