Номер 14.15, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.15, страница 143.

Условие.

14.15. Две бригады, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 8 дней. Если первая бригада, работая самостоятельно, выполнит $\frac{1}{3}$ задания, а затем ее сменит вторая бригада, то задание будет выполнено за 20 дней. За сколько дней каждая бригада может выполнить данное производственное задание, работая самостоятельно?

Решение.

Примем весь объем производственного задания за 1.

Пусть $x$ – количество дней, за которое первая бригада может выполнить все задание, работая самостоятельно, а $y$ – количество дней, за которое вторая бригада может выполнить все задание, работая самостоятельно.

Тогда производительность первой бригады составляет $\frac{1}{x}$ часть задания в день, а производительность второй бригады – $\frac{1}{y}$ часть задания в день.

Согласно первому условию, работая вместе, две бригады выполняют задание за 8 дней. Их совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Составим первое уравнение:

$8 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1$

Отсюда получаем:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$

Согласно второму условию, первая бригада выполняет $\frac{1}{3}$ задания, а затем вторая бригада выполняет оставшиеся $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ задания. Все это занимает 20 дней.

Время, которое первая бригада потратит на выполнение $\frac{1}{3}$ задания: $t_1 = \frac{\text{Работа}}{\text{Производительность}} = \frac{1/3}{1/x} = \frac{x}{3}$ дней.

Время, которое вторая бригада потратит на выполнение $\frac{2}{3}$ задания: $t_2 = \frac{\text{Работа}}{\text{Производительность}} = \frac{2/3}{1/y} = \frac{2y}{3}$ дней.

Общее время выполнения задания составляет 20 дней, поэтому составим второе уравнение:

$t_1 + t_2 = 20$

$\frac{x}{3} + \frac{2y}{3} = 20$

Умножим обе части уравнения на 3:

$x + 2y = 60$

Теперь решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \\ x + 2y = 60 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 60 - 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{1}{60 - 2y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{y + (60 - 2y)}{y(60 - 2y)} = \frac{1}{8}$

$\frac{60 - y}{60y - 2y^2} = \frac{1}{8}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$8(60 - y) = 60y - 2y^2$

$480 - 8y = 60y - 2y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2y^2 - 68y + 480 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$y^2 - 34y + 240 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 34, а их произведение равно 240. Подбираем корни: $y_1 = 10$ и $y_2 = 24$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня $y$:

1. Если $y_1 = 10$ дней (время второй бригады), то время первой бригады:

$x_1 = 60 - 2(10) = 60 - 20 = 40$ дней.

2. Если $y_2 = 24$ дня (время второй бригады), то время первой бригады:

$x_2 = 60 - 2(24) = 60 - 48 = 12$ дней.

Оба набора решений удовлетворяют условиям задачи. Таким образом, существует два возможных варианта.

Ответ: первая бригада может выполнить задание за 12 дней, а вторая — за 24 дня, или первая бригада — за 40 дней, а вторая — за 10 дней.