Номер 14.12, страница 142 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.12, страница 142.

Условие.

14.12. Есть два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение масс золота и меди равно $1:2$, а во втором — $2:3$. Если сплавить $\frac{1}{3}$ первого слитка с $\frac{5}{6}$ второго, то в полученном слитке окажется столько килограммов золота, сколько было килограммов меди в первом слитке, а если сплавить $\frac{2}{3}$ первого слитка и половину второго, то в полученном слитке окажется меди на $1$ кг больше, чем было килограммов золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?

Решение.

Пусть масса первого слитка равна $x$ кг, а масса второго слитка — $y$ кг.

В первом слитке отношение массы золота к массе меди равно 1:2. Это означает, что золото составляет $\frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$ массы слитка, а медь — $\frac{2}{1+2} = \frac{2}{3}$ массы слитка.
Масса золота в первом слитке: $G_1 = \frac{1}{3}x$ кг.
Масса меди в первом слитке: $C_1 = \frac{2}{3}x$ кг.

Во втором слитке отношение массы золота к массе меди равно 2:3. Это означает, что золото составляет $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ массы слитка, а медь — $\frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ массы слитка.
Масса золота во втором слитке: $G_2 = \frac{2}{5}y$ кг.
Масса меди во втором слитке: $C_2 = \frac{3}{5}y$ кг.

Составим систему уравнений на основе условий задачи.

Первое условие: если сплавить $\frac{1}{3}$ первого слитка с $\frac{5}{6}$ второго, то в полученном слитке окажется столько килограммов золота, сколько было килограммов меди в первом слитке.
Масса золота в $\frac{1}{3}$ первого слитка: $\frac{1}{3} \cdot G_1 = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3}x) = \frac{1}{9}x$.
Масса золота в $\frac{5}{6}$ второго слитка: $\frac{5}{6} \cdot G_2 = \frac{5}{6} \cdot (\frac{2}{5}y) = \frac{1}{3}y$.
Общая масса золота в новом сплаве равна $\frac{1}{9}x + \frac{1}{3}y$.
Эта масса равна массе меди в первом слитке ($C_1 = \frac{2}{3}x$).
Получаем первое уравнение: $\frac{1}{9}x + \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}x$.

Второе условие: если сплавить $\frac{2}{3}$ первого слитка и половину ($\frac{1}{2}$) второго, то в полученном слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было килограммов золота во втором слитке.
Масса меди в $\frac{2}{3}$ первого слитка: $\frac{2}{3} \cdot C_1 = \frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{3}x) = \frac{4}{9}x$.
Масса меди в $\frac{1}{2}$ второго слитка: $\frac{1}{2} \cdot C_2 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{5}y) = \frac{3}{10}y$.
Общая масса меди в новом сплаве равна $\frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y$.
Эта масса на 1 кг больше массы золота во втором слитке ($G_2 = \frac{2}{5}y$).
Получаем второе уравнение: $\frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y = \frac{2}{5}y + 1$.

Решим полученную систему уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{9}x + \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}x \\ \frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y = \frac{2}{5}y + 1 \end{cases} $

Упростим первое уравнение:
$\frac{1}{3}y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{9}x \implies \frac{1}{3}y = \frac{6-1}{9}x \implies \frac{1}{3}y = \frac{5}{9}x$.
Умножим обе части на 9:
$3y = 5x \implies y = \frac{5}{3}x$.

Упростим второе уравнение:
$\frac{4}{9}x = \frac{2}{5}y - \frac{3}{10}y + 1 \implies \frac{4}{9}x = (\frac{4}{10} - \frac{3}{10})y + 1 \implies \frac{4}{9}x = \frac{1}{10}y + 1$.

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$\frac{4}{9}x = \frac{1}{10}(\frac{5}{3}x) + 1$
$\frac{4}{9}x = \frac{1}{6}x + 1$
$\frac{4}{9}x - \frac{1}{6}x = 1$
Приведем дроби к общему знаменателю 18:
$\frac{8}{18}x - \frac{3}{18}x = 1 \implies \frac{5}{18}x = 1$
$x = \frac{18}{5} = 3.6$ кг.

Теперь найдем массу второго слитка $y$:
$y = \frac{5}{3}x = \frac{5}{3} \cdot 3.6 = 5 \cdot 1.2 = 6$ кг.

Вопрос задачи: "Сколько золота в каждом слитке?".
Масса золота в первом слитке: $G_1 = \frac{1}{3}x = \frac{1}{3} \cdot 3.6 = 1.2$ кг.
Масса золота во втором слитке: $G_2 = \frac{2}{5}y = \frac{2}{5} \cdot 6 = \frac{12}{5} = 2.4$ кг.

Ответ: в первом слитке 1,2 кг золота, во втором — 2,4 кг золота.