Номер 14.14, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.14, страница 143.

Условие.

14.14. Из пункта $A$ в пункт $B$ вышел товарный поезд. Через 5 ч из пункта $B$ в пункт $A$ вышел пассажирский поезд. Встретились они в пункте $C$. От пункта $C$ до пункта $B$ товарный поезд шёл 4 ч, а пассажирский от пункта $C$ до пункта $A$ — 6 ч. За сколько часов каждый поезд может преодолеть путь между пунктами $A$ и $B$?

Решение.

Пусть $v_т$ — скорость товарного поезда, а $v_п$ — скорость пассажирского поезда. Пусть $S_{AC}$ — расстояние от пункта А до пункта встречи С, а $S_{CB}$ — расстояние от пункта С до пункта В.

Пусть $t$ — время (в часах), которое пассажирский поезд был в пути до встречи в пункте С. Поскольку товарный поезд вышел на 5 часов раньше, он был в пути $t + 5$ часов до встречи.

Расстояние, которое прошел каждый поезд до встречи в пункте С, можно выразить так:
Товарный поезд (из А в С): $S_{AC} = v_т \cdot (t + 5)$.
Пассажирский поезд (из В в С): $S_{CB} = v_п \cdot t$.

Согласно условию, после встречи в пункте С:
Товарный поезд прошел оставшийся путь (от С до В) за 4 часа: $S_{CB} = v_т \cdot 4$.
Пассажирский поезд прошел оставшийся путь (от С до А) за 6 часов: $S_{AC} = v_п \cdot 6$.

Теперь мы можем составить систему уравнений, приравняв выражения для одинаковых отрезков пути:
Для $S_{AC}$: $v_т \cdot (t + 5) = v_п \cdot 6$
Для $S_{CB}$: $v_п \cdot t = v_т \cdot 4$

Из этих двух уравнений выразим отношение скоростей $\frac{v_т}{v_п}$:
Из первого уравнения: $\frac{v_т}{v_п} = \frac{6}{t + 5}$.
Из второго уравнения: $\frac{v_т}{v_п} = \frac{t}{4}$.

Приравняем правые части полученных выражений, чтобы найти $t$:
$\frac{6}{t + 5} = \frac{t}{4}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$t \cdot (t + 5) = 6 \cdot 4$
$t^2 + 5t = 24$
$t^2 + 5t - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 - 11}{2} = -8$. Этот корень не подходит, так как время не может быть отрицательным.
$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 + 11}{2} = 3$.
Следовательно, время движения пассажирского поезда до встречи составило 3 часа.

Теперь вычислим общее время, которое требуется каждому поезду, чтобы преодолеть весь путь от А до В.
Полное время в пути для товарного поезда равно времени его движения от А до С плюс время движения от С до В.
Время движения от А до С: $t + 5 = 3 + 5 = 8$ часов.
Время движения от С до В: 4 часа (по условию).
Общее время для товарного поезда: $8 + 4 = 12$ часов.

Полное время в пути для пассажирского поезда равно времени его движения от B до C плюс время движения от C до А.
Время движения от B до C: $t = 3$ часа.
Время движения от C до А: 6 часов (по условию).
Общее время для пассажирского поезда: $3 + 6 = 9$ часов.

Ответ: товарный поезд может преодолеть путь между пунктами А и В за 12 часов, а пассажирский поезд — за 9 часов.