Номер 14.17, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.17, страница 143.

Условие.

14.17. Из пунктов A и B (рис. 14.1), расстояние между которыми равно 13 км, одновременно вышли в указанных направлениях два туриста. Скорость туриста, вышедшего из пункта А, равна 4 км/ч, а туриста, вышедшего из пункта В, — 6 км/ч. Через какое время после начала движения расстояние между туристами будет наименьшим?

Рис. 14.1

Решение.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть точка A будет началом координат (0, 0). Поскольку расстояние между A и B равно 13 км, точка B будет иметь координаты (13, 0). Движение туристов происходит во взаимно перпендикулярных направлениях.

Пусть $t$ — время в часах, прошедшее с момента начала движения ($t \ge 0$).

Турист, вышедший из пункта A, движется со скоростью $v_A = 4$ км/ч вдоль оси OY. Его положение в момент времени $t$ будет в точке $A'$ с координатами $(0; 4t)$.

Турист, вышедший из пункта B, движется со скоростью $v_B = 6$ км/ч в сторону пункта A, то есть в отрицательном направлении оси OX. Его начальная координата по оси X равна 13. За время $t$ он пройдет расстояние $6t$, поэтому его координата по оси X станет равной $13 - 6t$. Положение этого туриста в момент времени $t$ будет в точке $B'$ с координатами $(13 - 6t; 0)$.

Квадрат расстояния $d^2$ между туристами в момент времени $t$ можно найти по теореме Пифагора (или по формуле расстояния между двумя точками):

$d^2(t) = (x_{B'} - x_{A'})^2 + (y_{B'} - y_{A'})^2$

$d^2(t) = ((13 - 6t) - 0)^2 + (0 - 4t)^2 = (13 - 6t)^2 + (-4t)^2$

Расстояние $d(t)$ будет наименьшим, когда его квадрат $d^2(t)$ будет наименьшим. Обозначим функцию квадрата расстояния как $S(t)$:

$S(t) = (13 - 6t)^2 + 16t^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$S(t) = 169 - 2 \cdot 13 \cdot 6t + 36t^2 + 16t^2 = 52t^2 - 156t + 169$

Это квадратичная функция вида $at^2 + bt + c$, где $a=52$, $b=-156$, $c=169$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент $a = 52 > 0$. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Абсцисса (в данном случае время $t$) вершины параболы находится по формуле:

$t_0 = -\frac{b}{2a}$

Подставим наши значения:

$t = -\frac{-156}{2 \cdot 52} = \frac{156}{104} = \frac{3}{2} = 1,5$

Таким образом, расстояние между туристами будет наименьшим через 1,5 часа после начала движения.

Ответ: через 1,5 ч.