Номер 14.24, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.24, страница 144.

Условие.

14.24. Возле дома растут липы и берёзы, причём общее их количество не меньше 14. Если увеличить в два раза количество лип, а количество берёз увеличить на 18, то берёз станет больше, чем лип. Если же увеличить в два раза количество берёз, не изменяя количества лип, то лип всё равно будет больше, чем берёз. Сколько лип и сколько берёз растёт возле дома?

Решение.

Пусть $Л$ — количество лип, а $Б$ — количество берёз. Поскольку речь идёт о деревьях, $Л$ и $Б$ являются натуральными числами.

Основываясь на условиях задачи, составим систему неравенств:

1. Общее количество деревьев не меньше 14:
   $Л + Б \ge 14$
2. Если увеличить в два раза количество лип ($2Л$), а количество берёз увеличить на 18 ($Б+18$), то берёз станет больше, чем лип:
   $Б + 18 > 2Л$
3. Если увеличить в два раза количество берёз ($2Б$), не изменяя количества лип ($Л$), то лип всё равно будет больше, чем берёз:
   $Л > 2Б$

Решим эту систему неравенств в натуральных числах.

Из третьего неравенства ($Л > 2Б$) следует, что $Л$ как минимум на единицу больше, чем $2Б$ (поскольку $Л$ и $Б$ - целые числа). То есть, $Л \ge 2Б + 1$.

Подставим это минимальное значение $Л$ в первое неравенство ($Л + Б \ge 14$):

$(2Б + 1) + Б \ge 14$

$3Б + 1 \ge 14$

$3Б \ge 13$

$Б \ge \frac{13}{3}$

$Б \ge 4\frac{1}{3}$

Так как $Б$ — целое число, то наименьшее возможное значение для $Б$ равно 5, то есть $Б \ge 5$.

Теперь рассмотрим второе и третье неравенства вместе. Из $Л > 2Б$ следует, что $2Л > 4Б$. Объединим это со вторым неравенством $Б + 18 > 2Л$:

$Б + 18 > 2Л > 4Б$

Отсюда возьмём крайние части двойного неравенства:

$Б + 18 > 4Б$

$18 > 3Б$

$6 > Б$

Мы получили два условия для $Б$: $Б \ge 5$ и $Б < 6$. Единственное целое число, удовлетворяющее этим условиям, — это $Б = 5$.

Теперь, зная точное количество берёз, найдём количество лип $Л$. Подставим $Б = 5$ в неравенства, содержащие $Л$:

Из $Л > 2Б$:

$Л > 2 \cdot 5$

$Л > 10$

Из $Б + 18 > 2Л$:

$5 + 18 > 2Л$

$23 > 2Л$

$11.5 > Л$

Итак, для $Л$ мы получили условия $Л > 10$ и $Л < 11.5$. Единственное целое число в этом интервале — это $Л = 11$.

Проверим, выполняется ли первое исходное условие: $Л + Б \ge 14$.

$11 + 5 = 16$

$16 \ge 14$. Условие выполняется.

Таким образом, все условия задачи соблюдены.

Ответ: Возле дома растёт 11 лип и 5 берёз.