Номер 14.27, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.27, страница 145.

Условие.

14.27. Два рабочих изготовили по 60 одинаковых деталей, причём 30 де-талей каждый из них сделал, работая с некоторой производительно-стью, которая у второго рабочего была на 20 % выше, чем у перво-го. Потом первый рабочий стал изготавливать больше на 2 детали в час, а второй — на 3 детали в час. Первый рабочий потратил на выполнение всего задания не менее 5 ч 30 мин, а второй — не более 4 ч 30 мин. Сколько деталей в час изготавливал второй рабочий во время выполнения первой половины задания?

Решение.

Пусть $x$ деталей в час — производительность первого рабочего в первой половине работы (при изготовлении первых 30 деталей). Тогда, согласно условию, производительность второго рабочего в первой половине работы составляла $x + 0.2x = 1.2x$ деталей в час.

Во второй половине работы (при изготовлении следующих 30 деталей) производительность первого рабочего стала $x+2$ деталей в час, а производительность второго — $1.2x+3$ деталей в час.

Общее время, затраченное первым рабочим на изготовление 60 деталей, составляет $T_1 = \frac{30}{x} + \frac{30}{x+2}$ часов. По условию, это время не менее 5 ч 30 мин, то есть $T_1 \ge 5.5$ часов. Составим и решим первое неравенство:

$\frac{30}{x} + \frac{30}{x+2} \ge 5.5$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{30(x+2) + 30x}{x(x+2)} \ge \frac{11}{2}$

$\frac{60x + 60}{x^2 + 2x} \ge \frac{11}{2}$

Так как производительность $x$ должна быть положительной ($x > 0$), то и знаменатель $x^2 + 2x > 0$. Мы можем умножить обе части неравенства на $2(x^2 + 2x)$, не меняя знака неравенства:

$2(60x + 60) \ge 11(x^2 + 2x)$

$120x + 120 \ge 11x^2 + 22x$

$0 \ge 11x^2 - 98x - 120$, или $11x^2 - 98x - 120 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $11x^2 - 98x - 120 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = (-98)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-120) = 9604 + 5280 = 14884 = 122^2$.
$x_1 = \frac{98 - 122}{2 \cdot 11} = \frac{-24}{22} = -\frac{12}{11}$
$x_2 = \frac{98 + 122}{2 \cdot 11} = \frac{220}{22} = 10$

Поскольку ветви параболы $y = 11x^2 - 98x - 120$ направлены вверх, решением неравенства $11x^2 - 98x - 120 \le 0$ является промежуток $[-\frac{12}{11}, 10]$. Учитывая, что $x > 0$, получаем $0 < x \le 10$.

Общее время, затраченное вторым рабочим на изготовление 60 деталей, составляет $T_2 = \frac{30}{1.2x} + \frac{30}{1.2x+3}$ часов. По условию, это время не более 4 ч 30 мин, то есть $T_2 \le 4.5$ часов. Составим и решим второе неравенство:

$\frac{30}{1.2x} + \frac{30}{1.2x+3} \le 4.5$

Упростим первое слагаемое $\frac{30}{1.2x} = \frac{300}{12x} = \frac{25}{x}$. Неравенство примет вид:

$\frac{25}{x} + \frac{30}{1.2x+3} \le \frac{9}{2}$

$\frac{25(1.2x+3) + 30x}{x(1.2x+3)} \le \frac{9}{2}$

$\frac{30x + 75 + 30x}{1.2x^2 + 3x} \le \frac{9}{2}$

$\frac{60x + 75}{1.2x^2 + 3x} \le \frac{9}{2}$

Так как $x > 0$, знаменатель положителен. Умножим обе части на $2(1.2x^2 + 3x)$:

$2(60x+75) \le 9(1.2x^2 + 3x)$

$120x + 150 \le 10.8x^2 + 27x$

$0 \le 10.8x^2 - 93x - 150$. Умножим на 10, чтобы избавиться от дроби, а затем разделим на 6 для упрощения: $108x^2 - 930x - 1500 \ge 0 \implies 18x^2 - 155x - 250 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $18x^2 - 155x - 250 = 0$:
$D = (-155)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-250) = 24025 + 18000 = 42025 = 205^2$.
$x_1 = \frac{155 - 205}{2 \cdot 18} = \frac{-50}{36} = -\frac{25}{18}$
$x_2 = \frac{155 + 205}{2 \cdot 18} = \frac{360}{36} = 10$

Поскольку ветви параболы $y = 18x^2 - 155x - 250$ направлены вверх, решением неравенства $18x^2 - 155x - 250 \ge 0$ является объединение промежутков $(-\infty, -\frac{25}{18}] \cup [10, +\infty)$. Учитывая, что $x > 0$, получаем $x \ge 10$.

Полученные результаты для $x$ должны выполняться одновременно, поэтому объединим их в систему:

$\begin{cases} 0 < x \le 10 \\ x \ge 10 \end{cases}$

Единственным решением этой системы является $x = 10$. Это производительность первого рабочего в первой половине задания.

Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти производительность второго рабочего во время выполнения первой половины задания. Она равна $1.2x$.

$1.2 \cdot 10 = 12$ деталей в час.

Ответ: 12.