Номер 14.29, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.29, страница 145.

Условие.

14.29. На химическом заводе есть цеха трёх типов. В каждом цеху первого, второго и третьего типов работает соответственно 350, 80 и 60 рабочих. Всего в этих цехах завода работает 980 человек. Найдите количество цехов каждого типа.

Решение.

Пусть $x$, $y$ и $z$ — количество цехов первого, второго и третьего типов соответственно. Поскольку количество цехов не может быть нулевым или отрицательным, $x$, $y$ и $z$ являются натуральными числами.

Исходя из условия задачи, общее количество рабочих на заводе составляет 980 человек. Мы можем составить уравнение, связывающее количество цехов каждого типа с общим числом рабочих:

$350x + 80y + 60z = 980$

Для упрощения разделим обе части уравнения на их наибольший общий делитель, который равен 10:

$35x + 8y + 6z = 98$

Теперь проанализируем возможные значения для переменной $x$. Так как $y \ge 1$ и $z \ge 1$, то $8y + 6z$ будет иметь минимальное значение при $y=1$ и $z=1$, то есть $8(1) + 6(1) = 14$.

Следовательно, $35x = 98 - (8y + 6z) \le 98 - 14 = 84$.

Отсюда получаем $x \le \frac{84}{35}$, то есть $x \le 2.4$. Поскольку $x$ — натуральное число, его возможные значения — 1 или 2.

Рассмотрим оба случая.

1. Случай, когда $x = 1$.

Подставим $x=1$ в упрощенное уравнение:

$35(1) + 8y + 6z = 98$

$8y + 6z = 98 - 35$

$8y + 6z = 63$

В левой части уравнения $8y + 6z = 2(4y + 3z)$ находится четное число для любых целых $y$ и $z$. В правой части стоит нечетное число 63. Равенство между четным и нечетным числом невозможно, следовательно, в этом случае целочисленных решений для $y$ и $z$ не существует.

2. Случай, когда $x = 2$.

Подставим $x=2$ в упрощенное уравнение:

$35(2) + 8y + 6z = 98$

$70 + 8y + 6z = 98$

$8y + 6z = 98 - 70$

$8y + 6z = 28$

Разделим обе части на 2:

$4y + 3z = 14$

Нам нужно найти натуральные решения ($y \ge 1, z \ge 1$) этого уравнения. Выразим $y$ через $z$: $4y = 14 - 3z$. Отсюда видно, что $14 - 3z$ должно быть положительным и делиться на 4. Проверим возможные значения $z$:

• Если $z = 1$, то $4y = 14 - 3(1) = 11$. $y = 11/4$, не является натуральным числом.
• Если $z = 2$, то $4y = 14 - 3(2) = 8$. $y = 2$. Это решение подходит.
• Если $z = 3$, то $4y = 14 - 3(3) = 5$. $y = 5/4$, не является натуральным числом.
• Если $z = 4$, то $4y = 14 - 3(4) = 2$. $y = 2/4 = 1/2$, не является натуральным числом.

При $z \ge 5$ выражение $14 - 3z$ становится отрицательным, что невозможно для $4y$.

Таким образом, единственным решением в натуральных числах является $x=2$, $y=2$, $z=2$.

Проверим это решение с исходными данными: $350(2) + 80(2) + 60(2) = 700 + 160 + 120 = 980$. Равенство верно.

Ответ: на химическом заводе 2 цеха первого типа, 2 цеха второго типа и 2 цеха третьего типа.