Номер 15.4, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.4, страница 153.

Условие.

15.4. Изобразите график неравенства:

1) $x - 2y < 3$;

2) $x + 4y \ge 5$;

3) $y > -2$;

4) $x \ge -2$.

Решение.

1)

Рассмотрим неравенство $x - 2y < 3$.
Для начала построим граничную прямую, которая соответствует уравнению $x - 2y = 3$.
Выразим $y$ через $x$:
$-2y = 3 - x$
$y = \frac{x}{2} - \frac{3}{2}$
Это уравнение линейной функции, ее график — прямая. Для построения найдем две точки:
- если $x = 1$, то $y = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1$. Точка $(1, -1)$.
- если $x = 3$, то $y = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$. Точка $(3, 0)$.
Поскольку знак неравенства строгий ($<$), точки на самой прямой не являются решением, поэтому прямую изображаем пунктиром.

Прямая делит координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем контрольную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство:
$0 - 2 \cdot 0 < 3$
$0 < 3$
Неравенство верное. Следовательно, решением является полуплоскость, содержащая точку $(0, 0)$. Это область выше прямой.

Ответ: Графиком неравенства является открытая полуплоскость, расположенная выше пунктирной прямой $y = \frac{x}{2} - \frac{3}{2}$.

2)

Рассмотрим неравенство $x + 4y \ge 5$.
Построим граничную прямую $x + 4y = 5$.
Выразим $y$ через $x$:
$4y = 5 - x$
$y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$
Найдем две точки для построения прямой:
- если $x = 1$, то $y = -\frac{1}{4} + \frac{5}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Точка $(1, 1)$.
- если $x = 5$, то $y = -\frac{5}{4} + \frac{5}{4} = 0$. Точка $(5, 0)$.
Поскольку знак неравенства нестрогий ($\ge$), точки на прямой являются решением, поэтому прямую изображаем сплошной линией.

Выберем контрольную точку $(0, 0)$ и подставим ее координаты в исходное неравенство:
$0 + 4 \cdot 0 \ge 5$
$0 \ge 5$
Неравенство неверное. Следовательно, решением является полуплоскость, которая не содержит точку $(0, 0)$. Это область на прямой и выше нее.

Ответ: Графиком неравенства является замкнутая полуплоскость, расположенная на и выше сплошной прямой $y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$.

3)

Рассмотрим неравенство $y > -2$.
Граничная прямая задается уравнением $y = -2$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, -2)$ параллельно оси абсцисс.
Поскольку знак неравенства строгий ($>$), прямая изображается пунктиром.
Неравенство $y > -2$ означает, что решением являются все точки, у которых ордината (координата $y$) больше, чем -2. Эти точки расположены выше прямой $y = -2$.

Ответ: Графиком неравенства является открытая полуплоскость, расположенная выше пунктирной прямой $y = -2$.

4)

Рассмотрим неравенство $x \ge -2$.
Граничная прямая задается уравнением $x = -2$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку $(-2, 0)$ параллельно оси ординат.
Поскольку знак неравенства нестрогий ($\ge$), прямая изображается сплошной линией.
Неравенство $x \ge -2$ означает, что решением являются все точки, у которых абсцисса (координата $x$) больше или равна -2. Эти точки расположены на прямой $x = -2$ и правее нее.

Ответ: Графиком неравенства является замкнутая полуплоскость, расположенная правее сплошной прямой $x = -2$ и включающая эту прямую.