Номер 15.9, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.9, страница 154.

Условие.

15.9. Постройте график неравенства:

1) $x^2 > 4;$

2) $|y| < 1;$

3) $y > |x|;$

4) $y \le 2|x| - 1;$

5) $y \ge |2|x| - 1|.$

Решение.

1) $x^2 > 4$

Чтобы построить график этого неравенства, сначала рассмотрим соответствующее равенство $x^2 = 4$. Решениями этого уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$. На координатной плоскости это две вертикальные прямые, проходящие через точки (2, 0) и (-2, 0) соответственно.

Так как неравенство строгое ($>$), эти прямые, являющиеся границами области, изображаются штриховой линией. Это означает, что точки, лежащие на этих прямых, не являются решениями неравенства.

Неравенство $x^2 > 4$ можно переписать как $|x| > 2$. Это равносильно совокупности двух неравенств: $x > 2$ или $x < -2$.

Таким образом, решением является объединение двух открытых полуплоскостей:

• Область справа от прямой $x = 2$, где все точки имеют абсциссу $x$ строго больше 2.
• Область слева от прямой $x = -2$, где все точки имеют абсциссу $x$ строго меньше -2.

Заштрихованная область будет состоять из двух частей, не включая полосу между $x=-2$ и $x=2$.

Ответ: Объединение двух открытых полуплоскостей, заданных неравенствами $x < -2$ и $x > 2$. Границы $x = -2$ и $x = 2$ в решение не входят.

2) $|y| < 1$

Рассмотрим границу области, заданную равенством $|y| = 1$. Это уравнение распадается на два: $y = 1$ и $y = -1$. На координатной плоскости это две горизонтальные прямые.

Поскольку неравенство строгое ($<$), обе прямые изображаются штриховой линией, так как точки на них не удовлетворяют неравенству.

Неравенство $|y| < 1$ равносильно двойному неравенству $-1 < y < 1$.

Это означает, что решением являются все точки $(x, y)$ координатной плоскости, ордината $y$ которых находится в интервале от -1 до 1 (не включая -1 и 1). Значение абсциссы $x$ может быть любым.

Графиком является горизонтальная полоса, заключенная между прямыми $y = -1$ и $y = 1$.

Ответ: Горизонтальная полоса, ограниченная штриховыми прямыми $y = -1$ и $y = 1$.

3) $y > |x|$

Границей искомой области является график функции $y = |x|$. Этот график состоит из двух лучей:

• $y = x$ при $x \ge 0$ (биссектриса I координатной четверти).
• $y = -x$ при $x < 0$ (биссектриса II координатной четверти).

Вместе они образуют V-образную кривую (угол) с вершиной в начале координат.

Так как неравенство строгое ($>$), граница $y = |x|$ изображается штриховой линией.

Неравенство $y > |x|$ означает, что мы ищем все точки, ордината которых больше, чем модуль их абсциссы. Геометрически это соответствует точкам, расположенным "выше" графика $y = |x|$.

Для проверки можно взять контрольную точку, не лежащую на границе. Например, точку (0, 1). Подставляем ее координаты в неравенство: $1 > |0|$, что равносильно $1 > 0$. Это верное утверждение. Следовательно, заштриховываем область, в которой лежит эта точка, то есть внутреннюю часть угла, образованного лучами.

Ответ: Область, расположенная внутри угла, образованного лучами $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Границы угла не включаются.

4) $y \le 2|x| - 1$

Границей области является график функции $y = 2|x| - 1$. Этот график можно получить из графика $y = |x|$ с помощью двух преобразований:

1. Растяжение вдоль оси OY в 2 раза (график становится "уже"): $y = 2|x|$.
2. Сдвиг вниз на 1 единицу по оси OY: $y = 2|x| - 1$.

Получается V-образный график с вершиной в точке (0, -1). Он состоит из лучей $y = 2x - 1$ для $x \ge 0$ и $y = -2x - 1$ для $x < 0$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), граница $y = 2|x| - 1$ изображается сплошной линией, так как точки на ней являются решениями.

Неравенство $y \le 2|x| - 1$ означает, что мы ищем точки, которые лежат на графике или "ниже" его. Это область под V-образной кривой.

Проверим с помощью контрольной точки, например, (0, -3). Подставляем в неравенство: $-3 \le 2|0| - 1$, что равносильно $-3 \le -1$. Это верное неравенство, значит, мы правильно определили область.

Ответ: Область, расположенная ниже графика функции $y = 2|x| - 1$, включая сам график.

5) $y \ge |2|x| - 1|$

Сначала построим график граничной функции $y = |2|x| - 1|$. Построение можно разбить на этапы:

1. Строим график подмодульной функции $f(x) = 2|x| - 1$. Это V-образный график с вершиной в (0, -1), который пересекает ось абсцисс в точках, где $2|x| - 1 = 0$, то есть $|x| = 0.5$, откуда $x = -0.5$ и $x = 0.5$.
2. Применяем внешний модуль: $y = |f(x)| = |2|x| - 1|$. Это преобразование оставляет без изменений ту часть графика $f(x)$, которая находится выше или на оси OX, и симметрично отражает относительно оси OX ту часть, которая находится ниже оси.

Часть графика $y = 2|x| - 1$ между $x = -0.5$ и $x = 0.5$ находится ниже оси OX. При отражении вершина (0, -1) переходит в точку (0, 1). В результате получается W-образный график с точками излома (-0.5, 0), (0, 1) и (0.5, 0).

Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому граница изображается сплошной линией.

Решением неравенства $y \ge |2|x| - 1|$ является множество точек, лежащих на этом W-образном графике или "выше" него.

Для проверки возьмем точку (0, 2). Подставляем: $2 \ge |2|0| - 1| \implies 2 \ge |-1| \implies 2 \ge 1$. Неравенство верное. Заштриховываем область над W-образным графиком.

Ответ: Область, расположенная выше графика функции $y = |2|x| - 1|$, включая сам график.