Номер 15.7, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.7, страница 154.

Условие.

15.7. Постройте график неравенства:

1) $y < 2x - x^2$;

2) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 < 1$;

3) $x^2 + 2x + y^2 \ge 3$;

4) $xy < 2$;

5) $xy \ge 12$;

6) $(x - y)(x + y - 1) < 0$.

Решение.

1) $y < 2x - x^2$

Графиком данного неравенства является область на координатной плоскости. Сначала построим границу этой области — график функции $y = 2x - x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы: $x_0 = -b/(2a) = -2/(2 \cdot (-1)) = 1$; $y_0 = 2(1) - 1^2 = 1$. Вершина находится в точке $(1; 1)$. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $2x - x^2 = 0$, откуда $x(2-x)=0$, то есть $x=0$ и $x=2$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

Поскольку неравенство строгое ($<$), граница области (сама парабола) не включается в решение и изображается пунктирной линией.

Неравенство $y < 2x - x^2$ означает, что искомые точки лежат ниже параболы. Для проверки можно взять любую точку, не лежащую на параболе, например, $(1; 0)$. Подставляем ее координаты в неравенство: $0 < 2(1) - 1^2$, что дает $0 < 1$. Это верное неравенство, значит, точка $(1; 0)$ принадлежит искомой области.

Ответ: Графиком является область, расположенная под параболой $y = 2x - x^2$, сама парабола не включается в решение (изображается пунктиром).

2) $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 < 1$

Границей области является уравнение $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 1$. Это уравнение окружности с центром в точке $(1; -2)$ и радиусом $r = \sqrt{1} = 1$.

Неравенство $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 < 1$ задает множество всех точек, расстояние от которых до центра $(1; -2)$ меньше радиуса 1. Это внутренность круга.

Поскольку неравенство строгое ($<$), граница области (сама окружность) не включается в решение и изображается пунктирной линией.

Ответ: Графиком является внутренность круга с центром в точке $(1; -2)$ и радиусом 1, не включая саму окружность (окружность изображается пунктиром).

3) $x^2 + 2x + y^2 \ge 3$

Преобразуем неравенство, выделив полный квадрат для переменной $x$: $(x^2 + 2x + 1) - 1 + y^2 \ge 3$. Это эквивалентно $(x + 1)^2 + y^2 \ge 4$.

Границей области является уравнение $(x + 1)^2 + y^2 = 4$. Это уравнение окружности с центром в точке $(-1; 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Неравенство $(x + 1)^2 + y^2 \ge 4$ задает множество всех точек, расстояние от которых до центра $(-1; 0)$ больше или равно радиусу 2. Это внешняя часть круга, включая его границу.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), граница области (сама окружность) включается в решение и изображается сплошной линией.

Ответ: Графиком является область, расположенная вне круга с центром в точке $(-1; 0)$ и радиусом 2, включая саму окружность (окружность изображается сплошной линией).

4) $xy < 2$

Границей области является график уравнения $xy = 2$, или $y = 2/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптотами являются оси координат.

Поскольку неравенство строгое ($<$), сама гипербола не включается в решение и изображается пунктирной линией.

Гипербола делит плоскость на три области. Чтобы определить, какая из них является решением, возьмем пробную точку, не лежащую на гиперболе, например, начало координат $(0; 0)$. Подставляем в неравенство: $0 \cdot 0 < 2$, что дает $0 < 2$. Это верное неравенство, значит, область, содержащая начало координат, является решением.

Эта область находится "между" ветвями гиперболы. Если $x > 0$, то $y < 2/x$ (область под ветвью в I квадранте). Если $x < 0$, то $y > 2/x$ (область над ветвью в III квадранте). Если $x = 0$, то $0 < 2$ верно для любого $y$, то есть ось Oy также является частью решения.

Ответ: Графиком является область, расположенная между ветвями гиперболы $y = 2/x$, включая ось ординат. Границы (ветви гиперболы) не включаются в решение и изображаются пунктиром.

5) $xy \ge 12$

Границей области является график уравнения $xy = 12$, или $y = 12/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптотами являются оси координат.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), сама гипербола включается в решение и изображается сплошной линией.

Гипербола делит плоскость на три области. Чтобы определить искомую область, рассмотрим два случая.

1. Если $x > 0$, то неравенство принимает вид $y \ge 12/x$. Это область, расположенная на ветви гиперболы и выше неё в первом квадранте.

2. Если $x < 0$, то при делении на отрицательное число знак неравенства меняется: $y \le 12/x$. Это область, расположенная на ветви гиперболы и ниже неё в третьем квадранте.

Ответ: Графиком являются две области: область на и выше ветви гиперболы $y = 12/x$ в первом квадранте и область на и ниже ветви гиперболы $y = 12/x$ в третьем квадранте. Границы (ветви гиперболы) включаются в решение и изображаются сплошной линией.

6) $(x - y)(x + y - 1) < 0$

Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки. Это равносильно совокупности двух систем неравенств:

Система 1: $\begin{cases} x - y > 0 \\ x + y - 1 < 0 \end{cases}$, что эквивалентно $\begin{cases} y < x \\ y < -x + 1 \end{cases}$.

Система 2: $\begin{cases} x - y < 0 \\ x + y - 1 > 0 \end{cases}$, что эквивалентно $\begin{cases} y > x \\ y > -x + 1 \end{cases}$.

Границами областей являются прямые $y = x$ и $y = -x + 1$. Найдем их точку пересечения: $x = -x + 1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0.5$, тогда $y = 0.5$. Точка пересечения — $(0.5; 0.5)$.

Поскольку исходное неравенство строгое ($<$), сами прямые не включаются в решение и изображаются пунктирными линиями.

Решение первой системы — это область, расположенная одновременно ниже прямой $y=x$ и ниже прямой $y=-x+1$. Это "нижний" из четырех углов, образованных пересечением прямых.

Решение второй системы — это область, расположенная одновременно выше прямой $y=x$ и выше прямой $y=-x+1$. Это "верхний" из четырех углов, образованных пересечением прямых.

Общее решение — это объединение этих двух областей.

Ответ: Графиком является объединение двух областей (вертикальных углов), ограниченных прямыми $y = x$ и $y = -x + 1$. Первая область задается системой $\begin{cases} y < x \\ y < -x + 1 \end{cases}$, вторая — системой $\begin{cases} y > x \\ y > -x + 1 \end{cases}$. Границы областей (прямые) не включаются в решение и изображаются пунктиром.