Номер 15.12, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.12, страница 154.

Условие.

15.12. Постройте график неравенства:

1) $y \ge x^2 - 4|x| + 3;$

2) $|y| < x^2 - 4x + 3;$

3) $|y| > x^2 - 4|x| + 3;$

4) $x^2 + y^2 - 4|x| - 4|y| + 7 \le 0;$

5) $x|y| > 8;$

6) $||x| - 1| + |y| \le 1.$

Решение.

1) Рассмотрим неравенство $y \ge x^2 - 4|x| + 3$. Правая часть неравенства является четной функцией относительно $x$, так как $x^2 = |x|^2$. Это означает, что график будет симметричен относительно оси $Oy$. Построим сначала график граничной функции $y = x^2 - 4|x| + 3$.
При $x \ge 0$, имеем $y = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы: $x_0 = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. $y_0 = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина находится в точке $(2, -1)$. Пересечение с осью $Ox$: $x^2 - 4x + 3 = 0$, корни $x=1$ и $x=3$. Пересечение с осью $Oy$: $y(0) = 3$.
При $x < 0$, имеем $y = x^2 + 4x + 3$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина параболы: $x_0 = -4/(2 \cdot 1) = -2$. $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина находится в точке $(-2, -1)$. Пересечение с осью $Ox$: $x^2 + 4x + 3 = 0$, корни $x=-1$ и $x=-3$.
График функции $y = x^2 - 4|x| + 3$ имеет форму буквы 'W'. Неравенство $y \ge x^2 - 4|x| + 3$ означает, что решением является область, расположенная на этой кривой и выше нее.
Ответ: Графиком неравенства является множество точек, лежащих на кривой $y = x^2 - 4|x| + 3$ и над ней.

2) Рассмотрим неравенство $|y| < x^2 - 4x + 3$. Это неравенство равносильно системе: $ \begin{cases} y < x^2 - 4x + 3 \\ y > -(x^2 - 4x + 3) \end{cases} $
Кроме того, поскольку $|y|$ всегда неотрицательно, правая часть также должна быть положительной: $x^2 - 4x + 3 > 0$. Решим квадратное уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни $x_1=1$, $x_2=3$. Следовательно, $x^2 - 4x + 3 > 0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$. Графиком является область, заключенная между параболами $y = x^2 - 4x + 3$ (ветви вверх, вершина в $(2, -1)$) и $y = -x^2 + 4x - 3$ (ветви вниз, вершина в $(2, 1)$), но только для значений $x$, где $x < 1$ или $x > 3$. Границы не включаются, так как неравенство строгое.
Ответ: Графиком неравенства является область между параболами $y = x^2 - 4x + 3$ и $y = -x^2 + 4x - 3$ для $x < 1$ и $x > 3$. Границы не включены.

3) Рассмотрим неравенство $|y| > x^2 - 4|x| + 3$. График этого неравенства симметричен относительно обеих осей координат, так как переменные $x$ и $y$ входят в него под знаком модуля. Построим график для первой координатной четверти ($x \ge 0, y \ge 0$) и затем отразим его.
При $x \ge 0, y \ge 0$ неравенство принимает вид $y > x^2 - 4x + 3$. Это область над параболой $y = x^2 - 4x + 3$ в первой четверти.
В силу симметрии относительно оси $Ox$, решение также включает область, где $y < -(x^2 - 4|x| + 3)$. В силу симметрии относительно оси $Oy$, решение для $x < 0$ является зеркальным отражением решения для $x > 0$. Таким образом, решением является вся плоскость, за исключением области, ограниченной кривыми $y = x^2 - 4|x| + 3$ и $y = -(x^2 - 4|x| + 3)$. Границы не включаются.
Ответ: Графиком неравенства является вся координатная плоскость, за исключением области, лежащей между кривыми $y = x^2 - 4|x| + 3$ и $y = -(x^2 - 4|x| + 3)$. Границы не включены.

4) Рассмотрим неравенство $x^2 + y^2 - 4|x| - 4|y| + 7 \le 0$. Так как $x^2=|x|^2$ и $y^2=|y|^2$, неравенство можно переписать как $|x|^2 - 4|x| + |y|^2 - 4|y| + 7 \le 0$. График симметричен относительно обеих осей. Рассмотрим первую четверть, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Неравенство принимает вид $x^2 - 4x + y^2 - 4y + 7 \le 0$. Выделим полные квадраты: $(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 7 \le 0$ $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 - 1 \le 0$ $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 \le 1$. Это неравенство описывает круг с центром в точке $(2, 2)$ и радиусом $1$, включая его границу. Весь этот круг находится в первой четверти.
В силу симметрии относительно осей координат, искомый график состоит из четырех таких кругов. Их центры находятся в точках $(2, 2)$, $(-2, 2)$, $(-2, -2)$ и $(2, -2)$.
Ответ: Графиком является объединение четырех замкнутых кругов радиуса 1 с центрами в точках $(2, 2)$, $(-2, 2)$, $(-2, -2)$ и $(2, -2)$.

5) Рассмотрим неравенство $x|y| > 8$. Поскольку $|y| \ge 0$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы $x$ был строго положителен, то есть $x > 0$. Таким образом, график будет расположен в правой полуплоскости.
При $x > 0$ можно разделить обе части на $x$: $|y| > 8/x$. Это неравенство распадается на два: $y > 8/x$ или $y < -8/x$.
График $y = 8/x$ при $x > 0$ — это ветвь гиперболы в первой четверти. Неравенство $y > 8/x$ задает область над этой ветвью.
График $y = -8/x$ при $x > 0$ — это ветвь гиперболы в четвертой четверти. Неравенство $y < -8/x$ задает область под этой ветвью.
Границы не включаются, так как неравенство строгое.
Ответ: Графиком является объединение двух областей: область в первой четверти выше гиперболы $y = 8/x$ и область в четвертой четверти ниже гиперболы $y = -8/x$.

6) Рассмотрим неравенство $||x| - 1| + |y| \le 1$. График симметричен относительно обеих осей координат. Построим его для первой четверти ($x \ge 0, y \ge 0$) и отразим.
При $x \ge 0, y \ge 0$ неравенство имеет вид $|x - 1| + y \le 1$, или $y \le 1 - |x - 1|$. Раскроем модуль $|x-1|$:
1) Если $0 \le x < 1$, то $x-1 < 0$, и неравенство становится $y \le 1 - (-(x-1))$, то есть $y \le x$.
2) Если $x \ge 1$, то $x-1 \ge 0$, и неравенство становится $y \le 1 - (x-1)$, то есть $y \le 2 - x$.
В первой четверти решением является область, ограниченная осями координат и ломаной, состоящей из отрезков прямых $y=x$ (от $(0,0)$ до $(1,1)$) и $y=2-x$ (от $(1,1)$ до $(2,0)$). Эта область — треугольник с вершинами в точках $(0, 0), (2, 0), (1, 1)$.
Отражая этот треугольник симметрично относительно осей $Ox$ и $Oy$, получаем фигуру, состоящую из четырех таких треугольников. Итоговая фигура является шестиугольником с вершинами в точках $(2, 0), (1, 1), (-1, 1), (-2, 0), (-1, -1), (1, -1)$. Неравенство нестрогое, поэтому граница включена.
Ответ: Графиком является шестиугольник с вершинами в точках $(2, 0), (1, 1), (-1, 1), (-2, 0), (-1, -1), (1, -1)$ и его внутренняя область.