Номер 15.19, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.19, страница 155.

Условие.

15.19. Докажите, что при всех целых $n$ значение выражения

$(n-2)(n-1)n(n+1)+1$

является квадратом целого числа.

Решение.

Для доказательства преобразуем данное выражение. Сначала перегруппируем множители для удобства последующих вычислений:

$(n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = ((n-2)(n+1)) \cdot (n(n-1)) + 1$

Теперь раскроем скобки в каждой из сгруппированных пар множителей:

$(n-2)(n+1) = n^2 + n - 2n - 2 = n^2 - n - 2$

$n(n-1) = n^2 - n$

Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$(n^2 - n - 2)(n^2 - n) + 1$

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, введем замену. Пусть $t = n^2 - n$. Тогда выражение примет вид:

$(t - 2)t + 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$t^2 - 2t + 1$

Полученное выражение является формулой квадрата разности:

$t^2 - 2t + 1 = (t - 1)^2$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ выражение $n^2 - n$:

$(n^2 - n - 1)^2$

Таким образом, мы показали, что исходное выражение $(n-2)(n-1)n(n+1) + 1$ тождественно равно $(n^2 - n - 1)^2$.

По условию, $n$ является целым числом. Если $n$ — целое число, то $n^2$ также является целым числом. Разность двух целых чисел ($n^2 - n$) является целым числом. Разность целого числа и единицы ($n^2 - n - 1$) также является целым числом. Следовательно, выражение $(n^2 - n - 1)^2$ является квадратом целого числа при любом целом $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное выражение равно $(n^2 - n - 1)^2$, что является квадратом целого числа для любого целого $n$.