Номер 16.4, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.4, страница 159.

Условие.

16.4. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество решений системы неравенств:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ x^2 + y^2 \ge 4; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + y^2 > 4, \\ (x-3)^2 + y^2 < 9; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 5, \\ xy \ge 2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} y \le -x^2 + 1, \\ y \ge |x| - 1. \end{cases} $

Решение.

1) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ x^2 + y^2 \ge 4. \end{cases} $$ Первое неравенство, $x^2 + y^2 \le 9$, описывает множество точек, находящихся внутри или на окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Это замкнутый круг. Второе неравенство, $x^2 + y^2 \ge 4$, описывает множество точек, находящихся вне или на окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Решением системы является пересечение этих двух множеств — область, которая находится одновременно внутри (или на границе) большого круга и снаружи (или на границе) малого круга.
Ответ: Кольцо, заключенное между двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами 2 и 3. Границы кольца (обе окружности) включены в множество решений.

2) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 > 4, \\ (x-3)^2 + y^2 < 9. \end{cases} $$ Первое неравенство, $x^2 + y^2 > 4$, описывает множество точек, находящихся строго вне окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Второе неравенство, $(x-3)^2 + y^2 < 9$, описывает множество точек, находящихся строго внутри окружности с центром в точке $(3,0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Решением системы является пересечение этих двух областей. Это точки, которые принадлежат открытому кругу с центром в $(3,0)$ и радиусом 3, но не принадлежат замкнутому кругу с центром в $(0,0)$ и радиусом 2.
Ответ: Множество точек, расположенных внутри окружности с центром в $(3,0)$ и радиусом 3, и одновременно вне окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом 2. Границы областей не включены, так как неравенства строгие.

3) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 5, \\ xy \ge 2. \end{cases} $$ Первое неравенство, $x^2 + y^2 \le 5$, задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{5}$. Второе неравенство, $xy \ge 2$, можно переписать как $y \ge 2/x$ для $x > 0$ и $y \le 2/x$ для $x < 0$. Эта область расположена "над" ветвью гиперболы $y=2/x$ в первой координатной четверти и "под" ветвью гиперболы в третьей координатной четверти, включая саму гиперболу. Решением системы является пересечение круга и области, заданной вторым неравенством. В результате получаются две отдельные, симметричные относительно начала координат, области. Одна находится в первой четверти, а другая — в третьей. Границы этих областей, образованные дугами окружности $x^2 + y^2 = 5$ и участками гиперболы $xy = 2$, включены в решение.
Ответ: Две замкнутые области в первой и третьей координатных четвертях. Каждая область ограничена дугой окружности $x^2+y^2=5$ и ветвью гиперболы $xy=2$.

4) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y \le -x^2 + 1, \\ y \ge |x| - 1. \end{cases} $$ Первое неравенство, $y \le -x^2 + 1$, задает область, расположенную на и под параболой $y = -x^2 + 1$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0,1)$. Второе неравенство, $y \ge |x| - 1$, задает область, расположенную на и над графиком функции $y = |x| - 1$. График этой функции представляет собой "галочку" (два луча, выходящие из точки $(0,-1)$): $y = x-1$ при $x \ge 0$ и $y = -x-1$ при $x < 0$. Решением системы является область, заключенная между графиками этих двух функций. Найдем точки пересечения границ $y = -x^2 + 1$ и $y = |x| - 1$. При $x \ge 0$ имеем $-x^2 + 1 = x - 1$, что приводит к уравнению $x^2 + x - 2 = 0$ или $(x+2)(x-1)=0$. Учитывая условие $x \ge 0$, получаем $x=1$, что дает точку пересечения $(1,0)$. При $x < 0$ имеем $-x^2 + 1 = -x - 1$, что приводит к уравнению $x^2 - x - 2 = 0$ или $(x-2)(x+1)=0$. Учитывая условие $x < 0$, получаем $x=-1$, что дает точку пересечения $(-1,0)$.
Ответ: Замкнутая область, ограниченная сверху дугой параболы $y = -x^2 + 1$, а снизу — ломаной линией $y = |x| - 1$.