Вопросы?, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - страница 159.

Условие.

1. Что нужно сделать, чтобы найти множество решений системы неравенств?

2. Как можно на координатной плоскости изобразить множество решений системы неравенств?

Решение.

1. Что нужно сделать, чтобы найти множество решений системы неравенств?

Решением системы неравенств называется значение переменной (или значения переменных), при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство. Множество всех таких решений является множеством решений системы.

Чтобы найти множество решений системы неравенств, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Решить каждое неравенство, входящее в систему, по отдельности. Для каждого неравенства будет найдено свое множество решений.
2. Найти пересечение (общую часть) множеств решений, полученных на первом шаге. Это можно сделать, например, изобразив решения всех неравенств на одной числовой прямой (если переменная одна) и определив общий промежуток.

Полученное в результате пересечение и является множеством решений всей системы неравенств.

Например, для системы с одной переменной: $ \begin{cases} f(x) > a \\ g(x) < b \end{cases} $ нужно найти множество $S_1 = \{x | f(x) > a\}$ и множество $S_2 = \{x | g(x) < b\}$. Решением системы будет пересечение этих множеств $S = S_1 \cap S_2$.

Ответ: Чтобы найти множество решений системы неравенств, нужно найти множество решений каждого неравенства в отдельности, а затем найти пересечение (общую часть) этих множеств.

2. Как можно на координатной плоскости изобразить множество решений системы неравенств?

Множество решений системы неравенств с двумя переменными (например, $x$ и $y$) можно изобразить на координатной плоскости в виде некоторой области. Эта область является пересечением фигур (чаще всего полуплоскостей), которые представляют собой множества решений для каждого отдельного неравенства системы.

Алгоритм построения следующий:

1. Для каждого неравенства системы строим на координатной плоскости график соответствующего ему уравнения. Например, для неравенства вида $y > kx + b$ строим прямую $y = kx + b$.
   • Если знак неравенства строгий ($>$ или $<$), то граница изображается пунктирной линией. Это означает, что точки на самой границе не входят в множество решений.
   • Если знак неравенства нестрогий ($\ge$ или $\le$), то граница изображается сплошной линией. Это означает, что точки на границе являются частью множества решений.
2. Построенная граница делит всю координатную плоскость на две части (полуплоскости). Чтобы определить, какая из них является решением, выбирают "пробную" точку, не лежащую на границе (часто удобно использовать начало координат $(0, 0)$).
3. Координаты пробной точки подставляют в неравенство. Если получается верное числовое неравенство, то решением является та часть плоскости, в которой лежит пробная точка. В противном случае решением является другая часть.
4. Заштриховываем найденную область (полуплоскость) для первого неравенства.
5. Повторяем шаги 1-4 для каждого неравенства системы, штрихуя соответствующую ему область (желательно использовать штриховку в разных направлениях или разным цветом).
6. Область на координатной плоскости, где все штриховки пересекаются (накладываются друг на друга), и является графическим изображением множества решений системы неравенств.

Ответ: На координатной плоскости множество решений системы неравенств изображается как пересечение (общая область) множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему. Каждое отдельное неравенство задает на плоскости некоторую область (например, полуплоскость), и итоговое решение — это та часть плоскости, которая принадлежит всем этим областям одновременно.