Номер 16.1, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.1, страница 159.

Условие.

16.1. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество решений системы неравенств:

1) $\begin{cases} 2x - 3y \ge 1, \\ x + 2y < 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x + y \le 0, \\ y \ge 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x - y > 1, \\ 2x - y < 2. \end{cases}$

Решение.

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2x - 3y \ge 1, \\ x + 2y < 2. \end{cases} $$

Сначала построим граничную прямую для первого неравенства: $2x - 3y = 1$. Эту прямую можно представить в виде $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), прямая будет сплошной. Чтобы определить, какую полуплоскость заштриховать, возьмем пробную точку, например, $(0, 0)$. Подставим ее в неравенство: $2(0) - 3(0) \ge 1$, что дает $0 \ge 1$. Это неверно, следовательно, решением является полуплоскость, не содержащая начало координат (ниже прямой $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$).

Теперь построим граничную прямую для второго неравенства: $x + 2y = 2$. Эту прямую можно представить в виде $y = -\frac{1}{2}x + 1$. Так как неравенство строгое ($<$), прямая будет пунктирной. Снова возьмем пробную точку $(0, 0)$. Подставим ее в неравенство: $0 + 2(0) < 2$, что дает $0 < 2$. Это верно, следовательно, решением является полуплоскость, содержащая начало координат (ниже прямой $y = -\frac{1}{2}x + 1$).

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это область, расположенная одновременно ниже сплошной прямой $y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$ и ниже пунктирной прямой $y = -\frac{1}{2}x + 1$. Найдем точку пересечения этих прямых, решив систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 1, \\ x + 2y = 2. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x = 2 - 2y$ и подставим в первое: $2(2 - 2y) - 3y = 1 \Rightarrow 4 - 4y - 3y = 1 \Rightarrow -7y = -3 \Rightarrow y = \frac{3}{7}$. Тогда $x = 2 - 2(\frac{3}{7}) = \frac{14 - 6}{7} = \frac{8}{7}$. Точка пересечения — $(\frac{8}{7}, \frac{3}{7})$.

Ответ: Искомое множество точек — это открытый угол (неограниченная область), ограниченный сверху лучами прямых $2x - 3y = 1$ и $x + 2y = 2$, исходящими из точки их пересечения $(\frac{8}{7}, \frac{3}{7})$. Граница, соответствующая прямой $2x - 3y = 1$, включается в решение, а граница, соответствующая прямой $x + 2y = 2$, не включается.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 4x + y \le 0, \\ y \ge 0. \end{cases} $$

Первое неравенство, $4x + y \le 0$, можно переписать как $y \le -4x$. Граничной линией является прямая $y = -4x$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), линия будет сплошной. Она проходит через начало координат $(0, 0)$. Решением является полуплоскость, лежащая ниже этой прямой (включая саму прямую).

Второе неравенство, $y \ge 0$, задает верхнюю полуплоскость, включая ось абсцисс ($Ox$), которая является граничной прямой $y=0$. Эта граница также сплошная.

Решением системы является пересечение этих двух областей: части верхней полуплоскости ($y \ge 0$), которая находится ниже прямой $y = -4x$. Прямая $y = -4x$ проходит через II и IV координатные четверти. Условию $y \ge 0$ удовлетворяют точки прямой во II четверти (где $x \le 0$) и точки над ней. Условию $y \le -4x$ удовлетворяют точки под прямой. Пересечение этих множеств — это угол, образованный частью оси $Ox$ при $x \le 0$ и частью прямой $y = -4x$ при $x \le 0$. Вершина этого угла находится в начале координат $(0, 0)$.

Ответ: Искомое множество точек — это угол во второй координатной четверти, ограниченный лучом оси $Ox$ от $-\infty$ до $0$ и лучом прямой $y=-4x$, исходящим из начала координат во вторую четверть. Обе граничные линии (лучи) включены в решение.

3)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2x - y > 1, \\ 2x - y < 2. \end{cases} $$

Эту систему можно записать в виде двойного неравенства: $1 < 2x - y < 2$.

Рассмотрим первое неравенство: $2x - y > 1$. Его можно переписать как $y < 2x - 1$. Граничная прямая $y = 2x - 1$. Так как неравенство строгое ($>$), прямая будет пунктирной. Решением является полуплоскость, лежащая ниже этой прямой.

Рассмотрим второе неравенство: $2x - y < 2$. Его можно переписать как $y > 2x - 2$. Граничная прямая $y = 2x - 2$. Так как неравенство строгое ($<$), эта прямая также будет пунктирной. Решением является полуплоскость, лежащая выше этой прямой.

Прямые $y = 2x - 1$ и $y = 2x - 2$ параллельны, так как у них одинаковый угловой коэффициент $k=2$.

Решением системы является пересечение двух полуплоскостей: область, которая находится одновременно ниже прямой $y = 2x - 1$ и выше прямой $y = 2x - 2$.

Ответ: Искомое множество точек — это полоса, заключенная между двумя параллельными прямыми $y = 2x - 1$ и $y = 2x - 2$. Сами прямые в решение не входят, так как неравенства строгие.