Номер 15.17, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.17, страница 155.

Условие.

15.17. При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства $x(x - 4) + a^2(a + 4) \le ax(a + 1)$ содержит не более четырёх целых значений $x$?

Решение.

Исходное неравенство: $x(x - 4) + a^2(a + 4) \le ax(a + 1)$.

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем его, чтобы получить квадратное неравенство относительно переменной $x$:
$x^2 - 4x + a^3 + 4a^2 - a^2x - ax \le 0$
$x^2 - (a^2 + a + 4)x + a^2(a + 4) \le 0$

Это квадратное неравенство относительно $x$. Графиком функции $f(x) = x^2 - (a^2 + a + 4)x + a^2(a + 4)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, решением неравенства является отрезок между корнями соответствующего квадратного уравнения $x^2 - (a^2 + a + 4)x + a^2(a + 4) = 0$.

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $x_1 + x_2 = a^2 + a + 4$, а произведение корней равно $x_1x_2 = a^2(a + 4)$.
Легко видеть, что корнями являются $x_1 = a^2$ и $x_2 = a + 4$.
Действительно, их сумма: $a^2 + (a+4) = a^2 + a + 4$.
Их произведение: $a^2 \cdot (a+4) = a^2(a+4)$.

Таким образом, множество решений неравенства — это отрезок с концами $a^2$ и $a+4$. Длина этого отрезка $L$ равна:
$L = |a^2 - (a+4)| = |a^2 - a - 4|$

По условию задачи, этот отрезок должен содержать не более четырех целых чисел.
Пусть $N$ — количество целых чисел в отрезке. Требуется, чтобы $N \le 4$.

1. Если длина отрезка $L < 4$, то он может содержать не более четырех целых чисел (например, отрезок $[0.5, 4.4]$ длиной $3.9$ содержит целые числа $1, 2, 3, 4$). Значит, все значения $a$, для которых $L<4$, удовлетворяют условию.
Решим неравенство $|a^2 - a - 4| < 4$:
$-4 < a^2 - a - 4 < 4$
Это эквивалентно системе двух неравенств:
$\begin{cases} a^2 - a - 4 < 4 \\ a^2 - a - 4 > -4 \end{cases} \implies \begin{cases} a^2 - a - 8 < 0 \\ a^2 - a > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $a^2 - a - 8 < 0$.
Корни уравнения $a^2 - a - 8 = 0$: $a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-8)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$.
Решение неравенства: $a \in (\frac{1 - \sqrt{33}}{2}, \frac{1 + \sqrt{33}}{2})$.

Решим второе неравенство: $a^2 - a > 0 \implies a(a - 1) > 0$.
Корни уравнения $a(a-1)=0$: $a=0$ и $a=1$.
Решение неравенства: $a \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

Пересечение решений двух неравенств дает:
$a \in (\frac{1 - \sqrt{33}}{2}, 0) \cup (1, \frac{1 + \sqrt{33}}{2})$.

2. Если длина отрезка $L = 4$, то он может содержать 4 или 5 целых чисел. Пять целых чисел содержится в том и только том случае, когда концы отрезка являются целыми числами. В нашем случае это произойдет, если $a$ — целое число, тогда и $a^2$, и $a+4$ будут целыми.
Найдем значения $a$, при которых $L=4$:
$|a^2 - a - 4| = 4$.
Это распадается на два уравнения:
а) $a^2 - a - 4 = 4 \implies a^2 - a - 8 = 0$. Корни $a = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$. Эти значения $a$ не являются целыми, поэтому концы отрезка $a^2$ и $a+4$ не будут целыми. Следовательно, отрезок длиной 4 будет содержать ровно 4 целых числа. Эти значения $a$ удовлетворяют условию задачи.
б) $a^2 - a - 4 = -4 \implies a^2 - a = 0 \implies a(a-1)=0$. Корни $a=0$ и $a=1$. Эти значения $a$ являются целыми.
При $a=0$ концы отрезка решений $x$ равны $0^2=0$ и $0+4=4$. Отрезок $[0, 4]$ содержит 5 целых чисел: $0, 1, 2, 3, 4$. Это не удовлетворяет условию.
При $a=1$ концы отрезка решений $x$ равны $1^2=1$ и $1+4=5$. Отрезок $[1, 5]$ содержит 5 целых чисел: $1, 2, 3, 4, 5$. Это также не удовлетворяет условию.

3. Если длина отрезка $L > 4$, то всегда можно найти такой отрезок, который содержит 5 или более целых чисел (например, отрезок $[0, L]$). Поэтому эти случаи нам не подходят.

Объединяя результаты, получаем:
Из пункта 1: $a \in (\frac{1 - \sqrt{33}}{2}, 0) \cup (1, \frac{1 + \sqrt{33}}{2})$.
Из пункта 2: $a = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$.
Исключаем $a=0$ и $a=1$.

Итоговое множество значений параметра $a$:
$[\frac{1 - \sqrt{33}}{2}, 0) \cup (1, \frac{1 + \sqrt{33}}{2}]$.

Ответ: $a \in [\frac{1 - \sqrt{33}}{2}, 0) \cup (1, \frac{1 + \sqrt{33}}{2}]$.