Номер 15.10, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.10, страница 154.

Условие.

15.10. Постройте график неравенства:

1) $y^2 \le 4$;

2) $|x| < 3$;

3) $y < |x + 1| - 2$.

Решение.

1) Неравенство $y^2 \le 4$ равносильно неравенству $|y| \le 2$, которое, в свою очередь, эквивалентно двойному неравенству $-2 \le y \le 2$.
Графиком этого неравенства является множество всех точек координатной плоскости, у которых ордината $y$ удовлетворяет условию $-2 \le y \le 2$, а абсцисса $x$ может быть любым действительным числом. Это горизонтальная полоса, заключенная между прямыми $y = -2$ и $y = 2$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), граничные прямые включаются в множество решений и изображаются сплошными линиями.
Ответ: Горизонтальная полоса, ограниченная сплошными прямыми $y=-2$ и $y=2$, включая сами прямые.

2) Неравенство $|x| < 3$ равносильно двойному неравенству $-3 < x < 3$.
Графиком этого неравенства является множество всех точек координатной плоскости, у которых абсцисса $x$ удовлетворяет условию $-3 < x < 3$, а ордината $y$ может быть любым действительным числом. Это вертикальная полоса, заключенная между прямыми $x = -3$ и $x = 3$. Так как неравенство строгое ($<$), граничные прямые не включаются в множество решений и изображаются пунктирными линиями.
Ответ: Вертикальная полоса, ограниченная пунктирными прямыми $x=-3$ и $x=3$, не включая сами прямые.

3) Чтобы построить график неравенства $y < |x + 1| - 2$, сначала рассмотрим график функции, являющейся границей области: $y = |x + 1| - 2$.
Этот график является графиком функции $y = |x|$, смещенным на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс и на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. Вершина графика находится в точке $(-1, -2)$. График состоит из двух лучей: $y = x - 1$ при $x \ge -1$ и $y = -x - 3$ при $x < -1$.
Неравенство $y < |x + 1| - 2$ означает, что искомым множеством являются все точки координатной плоскости, которые лежат ниже графика функции $y = |x + 1| - 2$. Так как неравенство строгое ($<$), точки, лежащие на самой границе, не являются решениями. Поэтому границу следует изображать пунктирной линией.
Ответ: Часть плоскости, расположенная ниже графика функции $y = |x + 1| - 2$, причем сама линия графика изображается пунктиром и в решение не входит.